设随机变量(x,y)在区域D=[0<x<2,0<y<1]内服从均匀分布,求,Z=xy的概率密度函数
时间: 2024-03-29 07:38:37 浏览: 88
首先可以列出Z=xy的取值范围为[0,2)。接下来,可以通过变量变换法求出Z的概率密度函数。
设变量变换为:
u = x
v = xy
则反函数为:
x = u
y = v/u
通过计算Jacobian行列式可以得到:
|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1 0| = 1
因此,有:
f<sub>UV</sub>(u,v) = f<sub>XY</sub>(x,y)|J| = 1/2
因为X和Y在D区域内服从均匀分布,所以它们的概率密度函数为:
f<sub>XY</sub>(x,y) = 1/(2×1) = 1/2
综上所述,Z=xy的概率密度函数为:
f<sub>Z</sub>(z) = ∫f<sub>UV</sub>(u,z/u)|du| = ∫<sub>0</sub><sup>2</sup>1/2×1/u|du| = 1/2×ln(2/z),其中0<z<2。
相关问题
设随机变量(x,y)在区域D=[0<x<2,0<y<2]内服从均匀分布,求,Z=xy的概率密度函数
首先可以写出随机变量(x,y)的联合概率密度函数为:
f(x,y) = 1/4, 0 < x < 2, 0 < y < 2
接下来,我们可以利用变量变换的方法来求得Z=xy的概率密度函数。设变量变换为:
u = xy, v = y
则反函数为:
x = u/v, y = v
并且雅可比行列式为:
|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1/v u/v^2| = 1/v
因此,我们可以得到Z=xy的概率密度函数为:
fz(z) = ∫∫f(x,y)|J|dxdy
= ∫∫1/4v δ(z-xy) dxdy
= ∫0^2 ∫z/y^2 2/y 1/4 dxdy, 0 < z < 4
= ∫0^2 1/2z/y^2 dy, 0 < z < 4
= -1/2[z/y]0^2
= 1/2z, 0 < z < 4
综上所述,Z=xy的概率密度函数为:
fz(z) = 1/2z, 0 < z < 4
设随机变量(x,y)在区域D=[0<x<2,0<y<1]内服从均匀分布,求,Z=xy的概率密度函数。
我们可以通过联合分布函数和边缘分布函数求解。首先,联合分布函数为:
F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(0 ≤ X ≤ x, 0 ≤ Y ≤ y)
= (x/2) * y
其中,P(0 ≤ X ≤ x, 0 ≤ Y ≤ y)表示(X, Y)在区域D内的概率,由于X和Y都是均匀分布,所以概率密度函数为f(x,y) = 1/(2*1) = 1/2。
接下来,我们可以通过边缘分布函数求解Z=XY的概率密度函数:
f(z) = ∫∫f(x,y) * δ(z-xy) dxdy
= ∫∫f(x,y) * δ(z-xy) dydx
= ∫0^2(1/2) * δ(z-xy) dx
其中,δ(z-xy)表示单位脉冲函数,当z=xy时取值为无穷大,否则为0。因此,当z在[0,1]区间内时,上式中δ(z-xy)的取值为1,可以将其代入上式,得到:
f(z) = ∫0^z(1/2) * (1/x) dx + ∫z^2(1/2) * (1/x) dx
= (1/2) * ln(z)
当z不在[0,1]区间内时,f(z)的取值为0。
因此,Z=XY的概率密度函数为:
f(z) = (1/2) * ln(z) (0<z<1)
= 0 (其他情况)
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