对任意一个随机变量的分布函数F(x)，因为F(x)单调非减，对于任意 的0 < y ≤ 1，可定义F −1 (y) = inf{x : F(x) ≥ y}作为F(x)的反函数。 证明：若θ服从[0, 1]上的均匀分布，则对任意的分布函数F(x)，令η = F −1 (θ)， 则η是服从分布函数F(x)的随机变量。

首先，我们可以通过定义证明F(x)单调非减。设a < b，则F(a) ≤ F(b)，因为F(x)表示小于等于x的概率，所以小于a的概率一定小于等于小于b的概率，即F(a) ≤ F(b)。

接着，我们证明η是服从分布函数F(x)的随机变量。首先，我们需要证明η的分布函数为F(x)。对于任意实数x，有：

P(η ≤ x) = P(F −1 (θ) ≤ x)
= P(θ ≤ F(x))
= F(x)

其中第一个等号利用了F(x)单调非减的性质，第二个等号利用了F −1 (y)的定义。因此，η的分布函数为F(x)。

最后，我们需要证明η服从F(x)的性质。对于任意实数x，有：

P(η ≤ x) = P(F −1 (θ) ≤ x)
= P(θ ≤ F(x))
= F(x)

其中第一个等号利用了F −1 (y)的定义，第二个等号利用了η的分布函数为F(x)的性质。因此，我们证明了η是服从分布函数F(x)的随机变量。

相关问题

连续累积分布函数(cdf)

连续累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），是概率论中一个重要的概念。它描述了一个随机变量小于或等于某个值的概率。

对于任意实数x，其CDF F(x)定义为：

F(x) = P(X ≤ x)

其中X是一个随机变量，P(X ≤ x)表示X小于或等于x的概率。

CDF具有以下性质：

1. F(x)是一个单调不减的函数。

2. F(x)的取值范围在0和1之间。

3. F(x)是右连续的，即lim_{y→x^+}F(y)=F(x)。

4. 对于任意实数a和b(a<b)，有P(a<X≤b)=F(b)−F(a)。

在实际应用中，CDF常用于描述随机变量的分布情况，如正态分布、指数分布、均匀分布等。通过CDF，我们可以计算出一个随机变量在某一区间内的概率，也可以通过反函数求出一个特定概率对应的值，从而进行统计推断、模拟等应用。