【进阶】随机变量和期望值计算

# 2.1 离散型随机变量的分布

### 2.1.1 二项分布

二项分布是描述在 n 次独立试验中，成功事件发生 k 次的概率分布。其概率质量函数为：

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中：

* C(n, k) 为组合数，表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数
* p 为成功概率
* n 为试验次数
* k 为成功事件发生的次数

二项分布具有以下性质：

* 均值：μ = np
* 方差：σ^2 = np(1-p)

# 2. 随机变量的分布

### 2.1 离散型随机变量的分布

#### 2.1.1 二项分布

**定义：**

二项分布描述了在 n 次独立试验中，成功事件发生 k 次的概率。

**概率质量函数：**

P(X = k) = (n k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

其中：

* n：试验次数
* k：成功事件发生的次数
* p：每次试验中成功事件发生的概率

**参数说明：**

* `n`：正整数，表示试验次数
* `p`：0 到 1 之间的实数，表示每次试验中成功事件发生的概率

**代码示例：**

import scipy.stats as stats

# 设定参数
n = 10
p = 0.5

# 计算概率
prob = stats.binom.pmf(k=5, n=n, p=p)
print(prob)  # 输出：0.24609375

**逻辑分析：**

* `stats.binom.pmf()` 函数用于计算二项分布的概率质量函数。
* `k` 参数指定成功事件发生的次数。
* `n` 参数指定试验次数。
* `p` 参数指定每次试验中成功事件发生的概率。

#### 2.1.2 泊松分布

**定义：**

泊松分布描述了在给定时间或空间间隔内发生指定次数事件的概率。

**概率质量函数：**

P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k!

其中：

* λ：平均事件发生率

**参数说明：**

* `λ`：正实数，表示平均事件发生率

**代码示例：**

import scipy.stats as stats

# 设定参数
lambda_ = 5

# 计算概率
prob = stats.poisson.pmf(k=3, mu=lambda_)
print(prob)  # 输出：0.14038836

**逻辑分析：**

* `stats.poisson.pmf()` 函数用于计算泊松分布的概率质量函数。
* `k` 参数指定事件发生的次数。
* `mu` 参数指定平