【基础】Sympy常用函数（simplify, expand, factor等）

# 1. Sympy简介**

Sympy是一个基于Python的开源计算机代数系统，它可以用于符号计算、代数、微积分、线性代数、组合数学和物理学计算等领域。Sympy提供了丰富的函数库，可以帮助用户轻松地进行复杂的数学运算，并生成可读的数学表达式。

Sympy的优势在于其易用性、灵活性、可扩展性和高性能。它提供了直观的用户界面，使非数学专业人员也能轻松上手。同时，Sympy的模块化设计使其可以根据需要进行扩展，满足不同的计算需求。此外，Sympy的并行计算能力使其能够处理大型计算任务，大大提高了计算效率。

# 2.1 简化函数（simplify）

### 2.1.1 simplify函数的原理和用法

Sympy中的`simplify`函数用于简化数学表达式，将其转换为等价但形式更简单的表达式。它使用了一系列规则和算法，包括：

- **代数恒等式：**应用恒等式，如`a + 0 = a`、`a * 1 = a`。
- **公因子提取：**提取表达式的公因子，如`2x + 4 = 2(x + 2)`。
- **三角恒等式：**应用三角恒等式，如`sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)`。
- **指数定律：**应用指数定律，如`a^m * a^n = a^(m + n)`。

`simplify`函数的语法为：

simplify(expr, [hint])

其中：

- `expr`：要简化的数学表达式。
- `hint`（可选）：指定要使用的简化规则的提示。

### 2.1.2 simplify函数的应用实例

>>> from sympy import *
>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')

>>> simplify(x + 2*x)
3*x

>>> simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)
1

>>> simplify(log(x*y))
log(x) + log(y)

**代码逻辑分析：**

- 第一个例子中，`simplify`函数将`x + 2*x`简化为`3*x`，因为`x + 2*x`是`3*x`的等价表达式。
- 第二个例子中，`simplify`函数使用三角恒等式将`sin(x)**2 + cos(x)**2`简化为`1`。
- 第三个例子中，`simplify`函数使用对数定律将`log(x*y)`简化为`log(x) + log(y)`。

# 3.1 求导函数（diff）

#### 3.1.1 diff函数的原理和用法

Sympy中的`diff`函数用于计算符号表达式的导数。其基本语法如下：

diff(expr, var)

其中：

* `expr`：要计算导数的符号表达式。
* `var`：导数相对于的变量。

`diff`函数返回导数的符号表达式。如果导数不存在，则返回`None`。

#### 3.1.2 diff函数的应用实例

**示例 1：计算多项式的导数**

>>> from sympy import *
>>> x = Symbol('x')
>>> f = x**3 + 2*x**2 - 5*x + 1
>>> diff(f, x)
3*x**2 + 4*x - 5

**示例 2：计算分式函数的导数**

>>> f = (x**2 + 1) / (x - 1)
>>> diff(f, x)
(2*x*(x - 1) - (x**2 + 1)) / (x - 1)**2

**示例 3：计算三角函数的导数**

>>> diff(sin(x), x)
cos(x)

**代码逻辑逐行解读：**

* 第一行：导入Sympy库。
* 第二行：