【进阶】中心极限定理的模拟

# 1. 中心极限定理概述**

中心极限定理是概率论和统计学中一个重要的定理，它描述了当独立同分布随机变量的样本量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。这个定理在统计推断和建模中有着广泛的应用。

# 2. 中心极限定理的理论基础

### 2.1 随机变量的分布

随机变量是统计学中描述随机现象结果的数学变量。随机变量的分布描述了其可能取值的概率分布。

#### 2.1.1 离散型随机变量

离散型随机变量只能取有限或可数无限个离散值。例如，掷一枚骰子的点数就是离散型随机变量，其可能取值范围为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

#### 2.1.2 连续型随机变量

连续型随机变量可以取任意实数值。例如，成年人的身高就是连续型随机变量，其可能取值范围为 [0, ∞)。

### 2.2 中心极限定理的数学证明

中心极限定理是一个重要的统计定理，描述了当独立同分布随机变量的样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。

#### 2.2.1 棣莫弗-拉普拉斯定理

棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的基础。它指出，当独立同分布随机变量的样本量足够大时，其样本均值的分布近似于正态分布。

#### 2.2.2 中心极限定理的推导

中心极限定理可以通过棣莫弗-拉普拉斯定理推导出来。设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为独立同分布随机变量，且均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 存在。则样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的分布近似于正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成 1000 个独立同分布的随机变量
X = np.random.normal(0, 1, 1000)

# 计算样本均值
sample_mean = np.mean(X)

# 绘制样本均值的直方图
plt.hist(sample_mean, bins=50)
plt.xlabel('Sample Mean')
plt.ylabel('Frequency')
plt.title('Histogram of Sample Mean')
plt.show()

上图展示了样本均值的直方图，可以看出其近似于正态分布。

# 3. 中心极限定理的模拟实践

### 3.1 随机数生成

#### 3.1.1 伪随机数生成器

伪随机数生成器（PRNG）是一种算法，它产生一个看似随机的数字序列，但实际上是由一个确定性的种子值决定的。PRNG广泛用于计算机模拟和密码学中。

常见的PRNG算法包括：

- 线性同余发生器（LCG）：使用以下公式生成随机数：`X[n+1] = (a * X[n] + c) mod m`，其中`a`、`c`和`m`是常数。
- 梅森旋转算法（MT）：使用一个巨大的状态向量来生成随机数，该状态向量通过一系列非线性操作更新。
- 惠特尼-哈默算法（WH）：使用一个线性反馈移位寄存器（LFSR）来生成随机数。

#### 3.1.2 真随机数生成器

真随机数生成器（TRNG）产生真正的随机数，不受任何确定性算法的影响。TRNG通常利用物理现象，例如大气噪声或放射性衰变，来生成随机位。

常见的TRNG技术包括：

- 硬件TRNG：使用专门的硬件设备，例如噪声二极管或量子发生器，来生成随机数。
- 软件TRNG：使用软件算法来利用计算机系统中的噪声源，例如键盘或鼠标输入，来生成随机数。

### 3.2 采样和抽样

#### 3.2.1 简单随机抽样

简单随机抽样是一种从总体中选择样本的概率抽样方法，其中每个个体被选中的概率相