【进阶】Sympy进行符号微分

# 2.1 微分规则的应用

Sympy 提供了全面的微分规则集，涵盖了微分的各种基本规则和高级技巧。

### 2.1.1 导数的定义和基本规则

导数是函数变化率的数学度量，定义为函数在某一点的极限差商。Sympy 使用 `diff()` 函数计算导数，语法为 `diff(expr, var)`，其中 `expr` 是要微分的表达式，`var` 是微分变量。

例如，计算函数 `f(x) = x^2` 在 `x = 2` 处的导数：

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
f = x**2
df_dx = sympy.diff(f, x)
print(df_dx.subs(x, 2))  # 输出：4

# 2. Sympy符号微分的实践技巧

### 2.1 微分规则的应用

#### 2.1.1 导数的定义和基本规则

Sympy中导数的定义遵循极限定义：

>>> from sympy import *
>>> x = Symbol('x')
>>> f = x**2
>>> f.diff(x)
2*x

基本微分规则包括：

- **幂次规则：** `(x^n)' = n * x^(n-1)`
- **乘积规则：** `(fg)' = f'g + fg'`
- **商规则：** `(f/g)' = (f'g - fg') / g^2`
- **链式法则：** `(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)`

#### 2.1.2 复合函数和隐函数的微分

**复合函数微分：**

>>> f = sin(x**2)
>>> f.diff(x)
2*x*cos(x**2)

**隐函数微分：**

>>> y = x**2 + y**2
>>> y.diff(x)
-y / x

#### 2.1.3 偏导数和全微分

**偏导数：**

>>> f = x**2 + y**2
>>> f.diff(x)
2*x
>>> f.diff(y)
2*y

**全微分：**

>>> f = x**2 + y**2
>>> f.diff(x, y)
2*x + 2*y

### 2.2 微分求解的优化

#### 2.2.1 符号微分算法

Sympy使用自动微分（AD）算法进行符号微分。AD算法通过将微分操作转换为一系列算术操作来计算导数。

#### 2.2.2 微分求解的复杂度分析

微分求解的复杂度取决于函数的复杂度和微分阶数。对于多项式函数，复杂度为O(n^k)，其中n是变量个数，k是微分阶数。

#### 2.2.3 性能优化策略

- **使用简化规则：** Sympy提供简化规则来优化表达式。
- **缓存导数：** Sympy缓存已计算的导数，以避免重复计算。
- **使用数值微分：** 对于复杂函数，数值微分可以提供更高的性能。

# 3.1 物理学中的微分应用

#### 3.1.1 运动学和动力学中的微分

在物理学中，微分在运动学和动力学中有着广泛的应用。运动学研究物体的运动，而动力学研究物体的运动与力的关系。微分在这些领域中可以用来描述物体的运动状态，例如速度、加速度和位移。

例如，在运动学中，速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。通过对位移函数求导，我们可以得到速度函数，再对速度函数求导，我们可以得到加速度函数。这些函数可以用来描述物体的运动状态，并预测其未来的运动。

import sympy
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义位移函数
displacement = sympy.Symbol("displacement")
time = sympy.Symbol("time")
displacement_function = 10 * time**2 - 5 * time + 2

# 求导得到速度函数
velocity_function = sympy.dif