设二维连续随机变量(X,Y)在三角区域D={(x,y)|x<y<2,0<x<2}内服从均匀分布,试求:1.(X,Y)的概率密度;2.边缘概率密度;3.判断X与Y是否独立
时间: 2024-06-08 22:07:51 浏览: 16
1. (X,Y)的概率密度为:
当(x,y)在三角形D内时,f(x,y)=1/S,否则f(x,y)=0,其中S是三角形D的面积。
因为D是一个直角三角形,斜边的长度为2,所以三角形D的面积为1。
因此,(X,Y)的概率密度为:
f(x,y) = { 1, (x,y)∈D
{ 0, otherwise
2. X的边缘概率密度为:
fX(x) = ∫f(x,y)dy,积分区间为y=x到y=2
因此,
fX(x) = { ∫1dx, 0<x<2
{ 0, otherwise
易知,fX(x) = 1,0<x<2
同理,Y的边缘概率密度为:
fY(y) = ∫f(x,y)dx,积分区间为x=0到x=y
因此,
fY(y) = { ∫1dy, 0<y<2
{ 0, otherwise
易知,fY(y) = 2-y,0<y<2
3. 判断X与Y是否独立
由于X,Y的联合概率密度函数f(x,y)不等于X的边缘概率密度函数fX(x)与Y的边缘概率密度函数fY(y)的乘积,因此X与Y不独立。
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```matlab
% 生成网格数据
[x,y] = meshgrid(-5:0.1:5);
% 计算z值
z = 5 .* ones(size(x));
% 绘制三维曲面
mesh(x,y,z);
% 设置坐标轴标签
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
% 设置图形标题
title('3D plot of z=5,|x|<=5,|y|<=5');
```
![3D plot of z=5,|x|<=5,|y|<=5](https://i.imgur.com/7JZJvJL.png)
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```matlab
% 定义函数
f = @(x,y) -3./(1+x.^2+y.^2);
% 生成x和y的网格点
[x,y] = meshgrid(-3:0.1:3,-3:0.1:3);
% 计算函数值
z = f(x,y);
% 绘制三维曲面图
surf(x,y,z);
hold on;
% 镂空部分
if abs(x)<=0.8 & abs(y)<=0.5
z = NaN(size(z));
end
% 绘制三维曲面图
surf(x,y,z);
hold off;
```
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