设二维随机变量(X，Y)~N(1,2,4.9,0),求 cov(X,Y),D(X+Y),D(XY)

根据题意，我们知道：

- X ~ N(1, 2.9)
- Y ~ N(0, 4)

因为 X 和 Y 是独立的，所以它们的协方差 cov(X,Y) = 0。

接下来，我们来计算 D(X+Y) 和 D(XY)。

由于 X 和 Y 是独立的，我们可以利用方差的性质来计算 D(X+Y)：

D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 cov(X, Y)
= 2.9 + 4 + 2 * 0
= 6.9

接下来，我们来计算 D(XY)：

D(XY) = E(X^2 Y^2) - [E(XY)]^2

由于 X 和 Y 是独立的，所以 E(XY) = E(X) E(Y) = 1 * 0 = 0。

接下来，我们需要计算 E(X^2 Y^2)。由于 X 和 Y 是正态分布的，我们可以利用正态分布的性质来计算 E(X^2 Y^2)：

E(X^2 Y^2) = E(X^2) E(Y^2)
= (Var(X) + [E(X)]^2) (Var(Y) + [E(Y)]^2)
= (2.9 + 1) (4 + 0)
= 14.6

因此，

D(XY) = E(X^2 Y^2) - [E(XY)]^2
= 14.6 - 0^2
= 14.6

综上所述，cov(X,Y) = 0，D(X+Y) = 6.9，D(XY) = 14.6。

相关问题

二维随机变量 (x,Y)~N0,0,1,1,0.5),令Z = 3X + 5Y,则随机变量的概率密度函数fz(z)=

首先，根据题意可知，$(X,Y)$服从均值为$(0,0)$，方差分别为$(1,1)$，协方差为$0.5$的二元正态分布，即$(X,Y) \sim N(0,0;1,1;0.5)$。那么，我们可以先求出$Z$的均值和方差：

$E(Z) = E(3X + 5Y) = 3E(X) + 5E(Y) = 0$

$Var(Z) = Var(3X + 5Y) = 9Var(X) + 25Var(Y) + 30Cov(X,Y) = 9 + 25 + 30\times0.5 = 34$

因此，$Z$也是一个正态分布，其概率密度函数为：

$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\times34}} \exp\left(-\frac{(z-0)^2}{2\times34}\right)$

化简后可得：

$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$

因此，随机变量$Z$的概率密度函数为$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$。

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为当0＜x＜2，0＜y＜2时f(x，y)=1/8(x+y)。当为其他范围时f(x，y)=0(1)求数学期望E(X)及E(Y)(2)求方差D(X)及D(Y)(3)求协方差cov(X,Y)及相关系数R(X,Y)

好的，让我来回答你的问题。

(1) 首先求解E(X)和E(Y)：

E(X) = ∫∫x f(x,y) dxdy

在0<x<2, 0<y<2的区域内，f(x,y) = 1/8(x+y)，代入上式可得：

E(X) = ∫∫x f(x,y) dxdy = ∫0^2∫0^2 x * (1/8(x+y))dxdy

对x积分，得：

E(X) = ∫0^2(1/16x+1/16y)dx = 1/16y[x]0^2 = 1

同理，可得E(Y) = 1。

(2) 求方差D(X)和D(Y)：

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(X^2) = ∫∫x^2 f(x,y) dxdy，在0<x<2, 0<y<2的区域内：

E(X^2) = ∫∫x^2 f(x,y) dxdy = ∫0^2∫0^2 x^2 * (1/8(x+y))dxdy

对x积分，得：

E(X^2) = ∫0^2(1/24x^3+1/16xy^2)dx = 1/6y^2[x]0^2 = 2/3

因此，D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2/3 - 1^2 = 1/3。

同理，可得D(Y) = 1/3。

(3) 求协方差cov(X,Y)及相关系数R(X,Y)：

cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

E(XY) = ∫∫xy f(x,y) dxdy，在0<x<2, 0<y<2的区域内：

E(XY) = ∫∫xy f(x,y) dxdy = ∫0^2∫0^2 xy * (1/8(x+y))dxdy

对x积分，得：

E(XY) = ∫0^2(1/16xy+1/32y^2)dx = 1/8y^2[x]0^2 = 1/2

因此，cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 1/2 - 1*1 = -1/2。

相关系数R(X,Y) = cov(X,Y) / (sqrt(D(X)) * sqrt(D(Y))) = (-1/2) / (sqrt(1/3) * sqrt(1/3)) = -1/2。