设二维随机变量(X,Y)~N(1,2,4.9,0),求 cov(X,Y),D(X+Y),D(XY)
时间: 2023-10-08 11:09:50 浏览: 556
根据题意,我们知道:
- X ~ N(1, 2.9)
- Y ~ N(0, 4)
因为 X 和 Y 是独立的,所以它们的协方差 cov(X,Y) = 0。
接下来,我们来计算 D(X+Y) 和 D(XY)。
由于 X 和 Y 是独立的,我们可以利用方差的性质来计算 D(X+Y):
D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 cov(X, Y)
= 2.9 + 4 + 2 * 0
= 6.9
接下来,我们来计算 D(XY):
D(XY) = E(X^2 Y^2) - [E(XY)]^2
由于 X 和 Y 是独立的,所以 E(XY) = E(X) E(Y) = 1 * 0 = 0。
接下来,我们需要计算 E(X^2 Y^2)。由于 X 和 Y 是正态分布的,我们可以利用正态分布的性质来计算 E(X^2 Y^2):
E(X^2 Y^2) = E(X^2) E(Y^2)
= (Var(X) + [E(X)]^2) (Var(Y) + [E(Y)]^2)
= (2.9 + 1) (4 + 0)
= 14.6
因此,
D(XY) = E(X^2 Y^2) - [E(XY)]^2
= 14.6 - 0^2
= 14.6
综上所述,cov(X,Y) = 0,D(X+Y) = 6.9,D(XY) = 14.6。
相关问题
二维随机变量 (x,Y)~N0,0,1,1,0.5),令Z = 3X + 5Y,则随机变量的概率密度函数fz(z)=
首先,根据题意可知,$(X,Y)$服从均值为$(0,0)$,方差分别为$(1,1)$,协方差为$0.5$的二元正态分布,即$(X,Y) \sim N(0,0;1,1;0.5)$。那么,我们可以先求出$Z$的均值和方差:
$E(Z) = E(3X + 5Y) = 3E(X) + 5E(Y) = 0$
$Var(Z) = Var(3X + 5Y) = 9Var(X) + 25Var(Y) + 30Cov(X,Y) = 9 + 25 + 30\times0.5 = 34$
因此,$Z$也是一个正态分布,其概率密度函数为:
$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\times34}} \exp\left(-\frac{(z-0)^2}{2\times34}\right)$
化简后可得:
$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$
因此,随机变量$Z$的概率密度函数为$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$。
二步抽样估计量求cov(x,y)公式
根据引用[1]和引用,二步抽样估计量求cov(x,y)的公式如下:
1.首先从样本中抽取n个样本,计算出样本的均值和方差,作为正态分布的均值和方差。
2.然后从正态分布中抽取m个样本,计算出每个样本的值,作为x和y的值。
3.根据x和y的值,计算出它们的协方差,即为cov(x,y)的估计量。
公式如下:
$$
\widehat{cov}(x,y)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})
$$
其中,$\bar{x}$和$\bar{y}$分别为x和y的均值,$x_i$和$y_i$分别为第i个样本的值。
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