二维连续型随机变量及其联合概率密度

二维连续型随机变量是指有两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们可以取到的值是连续的。它们的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function，简称联合概率密度）是 $f_{X,Y}(x,y)$，表示同时取到 $X=x$ 和 $Y=y$ 的概率密度。

在二维连续型随机变量中，我们经常需要计算一些概率和期望值。其中，联合概率密度函数的积分可以得到概率：

$$ P(a\leq X\leq b, c\leq Y\leq d)=\int_a^b\int_c^d f_{X,Y}(x,y)dydx $$

同时，我们也可以计算 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数（Marginal Probability Density Function）。分别为：

$$ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy $$

$$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx $$

边缘概率密度函数是联合概率密度函数在某个维度上的积分。它们分别表示 $X$ 和 $Y$ 单独取到某个值的概率密度。

此外，我们还可以计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差（Covariance）和相关系数（Correlation Coefficient）。它们分别为：

$$ Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] $$

$$ \rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $$

其中，$E(X)$ 和 $E(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的期望值，$Var(X)$ 和 $Var(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。协方差和相关系数可以用来描述 $X$ 和 $Y$ 之间的关系，其中相关系数的取值范围在 $[-1,1]$ 之间。如果 $\rho_{X,Y} > 0$，则 $X$ 和 $Y$ 为正相关；如果 $\rho_{X,Y} < 0$，则 $X$ 和 $Y$ 为负相关；如果 $\rho_{X,Y} = 0$，则 $X$ 和 $Y$ 为不相关。