设(X, Y)为二维随机变量,且X,Y相互独立,则以下选项中错误的是( ) (A) F(x, y) = FX(x)FY (y) (B) P(X ≤ x, Y > y) = P(X ≤ x)P(Y > y) (C) 2X与3Y相互独立 (D) (X, Y) ∼ N(−1, 2, −4, 9, 0.5)
时间: 2023-10-16 13:10:43 浏览: 124
选项 (C) 错误。
由于 X 和 Y 相互独立,因此它们的联合概率分布函数可以表示为:
F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) = FX(x)FY(y)
所以选项 (A) 成立。
对于选项 (B),根据 X 和 Y 的独立性,有:
P(X ≤ x, Y > y) = P(X ≤ x)P(Y > y)
所以选项 (B) 也成立。
对于选项 (C),2X 与 3Y 不一定相互独立。假设 X 服从标准正态分布,Y 服从均值为 0,方差为 1 的正态分布,则有:
Cov(2X, 3Y) = 6 Cov(X, Y) = 0
但是,2X 和 3Y 不是相互独立的,因为它们的线性组合 2X + 3Y 的方差大于 0,即 Var(2X + 3Y) = 13 Var(X) > 0。因此,选项 (C) 不成立。
对于选项 (D),由于 X 和 Y 独立,且它们的边际分布分别为 N(-1, 2) 和 N(-4, 9),因此它们的联合分布为二元正态分布。此外,由于它们的协方差为 0.5,因此二元正态分布的参数可以表示为:
(X, Y) ∼ N(μX, μY, σX^2, σY^2, ρ)
其中,μX = -1,μY = -4,σX^2 = 2,σY^2 = 9,ρ = 0.5。因此,选项 (D) 也成立。
综上所述,选项 (C) 错误。
相关问题
. 以下函数中,能够作为二维随机变量的密度函数的是( ) (A) f(x, y) = 1, 0 < x < π, 0 < y < sin x 0, other. (B) f(x, y) = e −(x+y) , x > 0, y > 0 0, other. (C) f(x, y) = x, x 2 + y 2 < 1 0, other. (D) f(x, y) = 1 2 , −1 < x, y < 1 0, other
选项 (B) f(x, y) = e^-(x+y), x > 0, y > 0 是一个二维随机变量的密度函数。
首先,它对于所有的 (x, y) 都是非负的,因为指数函数的值始终为正数。其次,对于所有的 x 和 y,有:
∫∫f(x, y) dxdy = ∫0^∞ ∫0^∞ e^-(x+y) dxdy
通过对 x 和 y 分别进行积分,可以得到:
∫0^∞ e^-x dx ∫0^∞ e^-y dy = 1
因此,它是一个合法的概率密度函数。
对于选项 (A) f(x, y) = 1, 0 < x < π, 0 < y < sin x,它对于所有的 (x, y) 都是正的,但是它在定义域上的积分不等于 1,因此不是一个合法的概率密度函数。
对于选项 (C) f(x, y) = x, x^2 + y^2 < 1,它在圆心处的值为 0,而圆心是一个点,因此不是一个合法的概率密度函数。
对于选项 (D) f(x, y) = 1/2, -1 < x, y < 1,它对于所有的 (x, y) 都是正的,而且在定义域上的积分等于 1,因此它也是一个合法的概率密度函数。
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