f(x)=8xy,0≤x≤y≤1；f(x)=0,其他。 求cov（X，Y），写出计算过程

首先需要求出X和Y的期望值：

E(X) = ∫∫xf(x,y)dydx = ∫∫8xydydx = 8/3∫x^2 dx = 8/9

E(Y) = ∫∫yf(x,y)dydx = ∫∫8xy^2dydx = 8/3∫y^3 dy = 2/3

然后可以写出X和Y的协方差：

cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

求E(XY)需要对f(x,y)进行积分：

E(XY) = ∫∫xyf(x,y)dydx = 8/3∫∫x^2y dydx = 8/15

因此，

cov(X,Y) = 8/15 - (8/9)(2/3) = -4/135

计算过程完毕，希望能对您有所帮助。

相关问题

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为当0＜x＜2，0＜y＜2时f(x，y)=1/8(x+y)。当为其他范围时f(x，y)=0(1)求数学期望E(X)及E(Y)(2)求方差D(X)及D(Y)(3)求协方差cov(X,Y)及相关系数R(X,Y)

好的，让我来回答你的问题。

(1) 首先求解E(X)和E(Y)：

E(X) = ∫∫x f(x,y) dxdy

在0<x<2, 0<y<2的区域内，f(x,y) = 1/8(x+y)，代入上式可得：

E(X) = ∫∫x f(x,y) dxdy = ∫0^2∫0^2 x * (1/8(x+y))dxdy

对x积分，得：

E(X) = ∫0^2(1/16x+1/16y)dx = 1/16y[x]0^2 = 1

同理，可得E(Y) = 1。

(2) 求方差D(X)和D(Y)：

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(X^2) = ∫∫x^2 f(x,y) dxdy，在0<x<2, 0<y<2的区域内：

E(X^2) = ∫∫x^2 f(x,y) dxdy = ∫0^2∫0^2 x^2 * (1/8(x+y))dxdy

对x积分，得：

E(X^2) = ∫0^2(1/24x^3+1/16xy^2)dx = 1/6y^2[x]0^2 = 2/3

因此，D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2/3 - 1^2 = 1/3。

同理，可得D(Y) = 1/3。

(3) 求协方差cov(X,Y)及相关系数R(X,Y)：

cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

E(XY) = ∫∫xy f(x,y) dxdy，在0<x<2, 0<y<2的区域内：

E(XY) = ∫∫xy f(x,y) dxdy = ∫0^2∫0^2 xy * (1/8(x+y))dxdy

对x积分，得：

E(XY) = ∫0^2(1/16xy+1/32y^2)dx = 1/8y^2[x]0^2 = 1/2

因此，cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 1/2 - 1*1 = -1/2。

相关系数R(X,Y) = cov(X,Y) / (sqrt(D(X)) * sqrt(D(Y))) = (-1/2) / (sqrt(1/3) * sqrt(1/3)) = -1/2。

ρxy=-0.5 E(x)=20,D(x)=16 ，Z=2x+3Y, E(Y)=15, D(Y)=9,求P(55<x<120)下界

这是一个数理统计的问题，属于IT类问题。

根据题意，我们可以得到：

E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 20 + 3 × 15 = 85

D(Z) = D(2X + 3Y) = 4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y)

其中，Cov(X, Y)是X和Y的协方差。由于ρxy = -0.5，我们可以得到：

Cov(X, Y) = ρxy × σx × σy = -0.5 × √16 × √9 = -2.25

因此，

D(Z) = 4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5 = 138.5

接下来，我们需要将Z标准化为标准正态分布：

Z' = (Z - E(Z)) / √D(Z) = (Z - 85) / √138.5

P(55 < X < 120)等价于P(2X < 240)。将2X带入Z的公式中，得到：

Z' = (2X - 2E(X) + 3Y - 3E(Y)) / √(4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y))

将X = 55和X = 120代入上式，分别得到：

Z'1 = (110 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 0.61 + 0.35Y

Z'2 = (240 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 1.91 + 0.35Y

因为Z'是标准正态分布，所以P(55 < X < 120)等价于P(Z'1 < Z' < Z'2)。将Z'1和Z'2带入标准正态分布的累积分布函数中，得到：

P(Z'1 < Z' < Z'2) ≈ Φ(Z'2) - Φ(Z'1) ≈ Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y)

其中，Φ是标准正态分布的累积分布函数。因为我们不知道Y的具体取值，所以需要对Y进行积分：

P(55 < X < 120) ≈ ∫Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y) f(y)dy

其中，f(y)是Y的概率密度函数。由于Y是正态分布，所以：

f(y) = 1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]

将f(y)带入上式，得到：

P(55 < X < 120) ≈ ∫[Φ(1.91 + 0.35y) - Φ(0.61 + 0.35y)] × [1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]]dy

这是一个积分问题，可以使用数值积分或者计算机软件求解。