设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=e^X的概率密度f_Y (y),用分布函数法和公式法两种方法解题
时间: 2024-06-04 19:14:04 浏览: 138
分布函数法:
首先,求出Y的分布函数F_Y(y):
F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(e^X ≤ y) = P(X ≤ ln(y))
因为X服从[0,1]上的均匀分布,所以P(X ≤ t) = t(0 ≤ t ≤ 1)
当0 ≤ y ≤ 1时,F_Y(y) = P(X ≤ ln(y)) = ln(y)
当y > 1时,F_Y(y) = P(X ≤ ln(y)) = 1
因此,Y的分布函数为:
F_Y(y) = {ln(y), 0 ≤ y ≤ 1; 1, y > 1}
然后,对分布函数求导,得到概率密度:
f_Y(y) = dF_Y(y) / dy
当0 ≤ y ≤ 1时,f_Y(y) = d(ln(y)) / dy = 1 / y
当y > 1时,f_Y(y) = d(1) / dy = 0
因此,Y的概率密度为:
f_Y(y) = {1 / y, 0 ≤ y ≤ 1; 0, y > 1}
公式法:
因为Y=e^X,所以X=ln(Y),根据变量替换公式,有:
f_Y(y) = f_X(ln(y)) / |d(ln(y)) / dy|
因为X服从[0,1]上的均匀分布,所以f_X(x) = 1 (0 ≤ x ≤ 1)
因为d(ln(y)) / dy = 1 / y,所以:
f_Y(y) = {1 / y, 0 ≤ y ≤ 1; 0, y > 1}
得到与分布函数法相同的结果。
相关问题
设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度f(y)
首先,我们可以根据概率密度函数的定义得到:
f(x) = 1, 0<=x<=1
然后,我们可以通过变量替换的方法求得Y=eX的概率密度。
设Y=eX,即X=lnY,那么有:
F(y) = P(Y<=y) = P(eX<=y) = P(X<=lny) = ∫[0,lny]f(x)dx
对F(y)求导,得到f(y):
f(y) = dF(y)/dy = d/dy ∫[0,lny]f(x)dx
令u = lny,则du/dy = 1/y
f(y) = d/dy ∫[0,u]f(x)dx = d/dy ∫[0,u]1dx = 1/u * du/dy
代入u = lny,得到:
f(y) = 1/lny * 1/y
综上所述,随机变量函数Y=eX的概率密度为:
f(y) = 1/lny * 1/y, 0<y<=e
设随机变量(x,y)在区域D=[0<x<2,0<y<1]内服从均匀分布,求,Z=xy的概率密度函数
首先可以列出Z=xy的取值范围为[0,2)。接下来,可以通过变量变换法求出Z的概率密度函数。
设变量变换为:
u = x
v = xy
则反函数为:
x = u
y = v/u
通过计算Jacobian行列式可以得到:
|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1 0| = 1
因此,有:
f<sub>UV</sub>(u,v) = f<sub>XY</sub>(x,y)|J| = 1/2
因为X和Y在D区域内服从均匀分布,所以它们的概率密度函数为:
f<sub>XY</sub>(x,y) = 1/(2×1) = 1/2
综上所述,Z=xy的概率密度函数为:
f<sub>Z</sub>(z) = ∫f<sub>UV</sub>(u,z/u)|du| = ∫<sub>0</sub><sup>2</sup>1/2×1/u|du| = 1/2×ln(2/z),其中0<z<2。
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