度量空间A中到一个非空集合的下确界是一个连续函数，由于 $A$ 和 $B$ 的关系是互补的，因此 $x$ 到 $B$ 的下确界可以表示为： $$\inf_{b\in B}d(x,b)=\sup_{a\in A}d(x,a)$$吗

是的，这个结论是正确的。这个结论称为Hausdorff距离的定义，也可以被称为最远点距离定义。它在计算机视觉中被广泛应用于形状匹配和图像识别等领域。要证明这个结论，可以通过以下步骤：

首先，我们证明对于任意 $a\in A$ 和 $b\in B$，有 $d(x,b)\leq d(x,a)+d(a,b)$，其中 $d(x,b)$ 表示 $x$ 到 $b$ 的距离。 这可以通过三角不等式很容易地证明。

然后，我们可以得到：$$\begin{aligned}\inf_{b\in B}d(x,b) &=\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}\{d(x,a)-d(a,b)\} \\ &=\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}\{d(x,a)-d(a,b)\} \\ &\geq\sup_{a\in A}\{d(x,a)-\sup_{b\in B}d(a,b)\} \\ &=\sup_{a\in A}d(x,a)-\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}d(a,b) \\ &=\sup_{a\in A}d(x,a)-\inf_{a\in A}\sup_{b\in B}d(a,b)\end{aligned}$$

最后一个等式是因为 $A$ 和 $B$ 的关系是互补的，所以 $\inf_{b\in B}\sup_{a\in A}d(a,b)=\sup_{a\in A}\inf_{b\in B}d(a,b)$.

因此，我们得到：$$\inf_{b\in B}d(x,b)\geq\sup_{a\in A}d(x,a)$$

另一方面，对于任意 $\epsilon>0$，我们可以找到一个 $b\in B$，使得 $d(x,b)\leq\inf_{b\in B}d(x,b)+\epsilon$。因此，我们有：$$\begin{aligned}\sup_{a\in A}d(x,a)&\geq d(x,b)-d(a,b) \\ &\geq d(x,b)-\epsilon \\ &\geq\inf_{b\in B}d(x,b)-\epsilon\end{aligned}$$

由于 $\epsilon$ 的任意性，我们得到：$$\sup_{a\in A}d(x,a)\geq\inf_{b\in B}d(x,b)$$

综上所述，我们证明了下确界的等式：$$\inf_{b\in B}d(x,b)=\sup_{a\in A}d(x,a)$$