证明度量空间中到一个非空集合的下确界是一个连续函数有最小值

设 $X$ 是一个度量空间，$A$ 是 $X$ 中的非空子集，$f:X\rightarrow \mathbb{R}$ 是一个连续函数。我们要证明 $f$ 在 $A$ 上有最小值。

首先，我们证明 $f$ 在 $A$ 上有下确界。设 $m=\inf_{a\in A} f(a)$，则对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $a_\epsilon \in A$，使得 $f(a_\epsilon) < m + \epsilon$。另一方面，由于 $m$ 是 $f(a)$ 的下确界，对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $a' \in A$，使得 $f(a') < m + \epsilon$。因此，我们可以构造一个序列 $\{a_n\}$，其中 $a_n = a_{1/n}$，满足 $f(a_n) < m + 1/n$。由于 $f$ 是连续的，因此 $\lim_{n\rightarrow\infty} f(a_n) = f(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n)$，且 $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \inf_{a\in A} a$。因此，$m=\inf_{a\in A} f(a)$ 是 $f$ 在 $A$ 上的下确界。

接下来，我们证明 $f$ 在 $A$ 上有最小值。由于 $m=\inf_{a\in A} f(a)$ 是 $f$ 在 $A$ 上的下确界，因此对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $a_\epsilon \in A$，使得 $f(a_\epsilon) < m + \epsilon$。另一方面，由于 $f$ 在 $a_\epsilon$ 处连续，存在一个 $\delta_\epsilon > 0$，使得对于任意 $a\in A$，如果 $d(a,a_\epsilon) < \delta_\epsilon$，则 $|f(a) - f(a_\epsilon)| < \epsilon$。因此，我们可以构造一个开球 $B_{\delta_\epsilon}(a_\epsilon)$，使得对于任意 $a\in B_{\delta_\epsilon}(a_\epsilon)\cap A$，有 $f(a) < m + 2\epsilon$。因此，我们可以通过选取 $\epsilon$ 的值，使得这个开球的半径足够小，以至于它只包含一个点，即 $a_\epsilon$。因此，$f$ 在 $A$ 上取得了最小值 $m$，且 $m$ 是 $f$ 在 $A$ 上的下确界，因此 $m$ 是 $f$ 在 $A$ 上的最小值。

因此，我们证明了在度量空间 $X$ 中，到一个非空集合的下确界是一个连续函数，并且该函数在该集合上有最小值。