解决度量空间中 如何证明inf{d(x,z)+d(z,y)}≤d(x,y)

在度量空间 $(X,d)$ 中，我们有以下三角不等式成立：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$

对于任意的 $x,y,z \in X$。这个不等式的意义是，从 $x$ 到 $y$ 的路径可以通过先到达 $z$，再从 $z$ 到 $y$ 来实现，而这个路径的长度不会超过直接从 $x$ 到 $y$ 的距离。

因此，对于任意的 $x,y \in X$，我们都有：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

因为 $\inf$ 表示下确界，所以对于任意的 $\epsilon > 0$，都存在 $z \in X$，使得：

$$d(x,z) + d(z,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) + \epsilon$$

因此：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) + \epsilon$$

由于 $\epsilon$ 是任意的正数，所以：

$$d(x,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$

因此，我们证明了：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

这就是我们需要证明的不等式。