如何证明，如果我们对度量空间中的某个子集取补集，则下确界变成上确界，同样可以得到上确界运算是一个连续函数的结论。

设 $X$ 是一个度量空间，$A$ 是 $X$ 的一个非空子集，$B=X\setminus A$ 是 $A$ 的补集。对于 $x,y\in X$，我们仍然定义它们之间的距离为 $d(x,y)$。由于 $A$ 和 $B$ 的关系是互补的，因此 $x$ 到 $B$ 的下确界可以表示为：

$$\inf_{b\in B}d(x,b)=\sup_{a\in A}d(x,a)$$

证明如下：

对于任意 $b\in B$ 和 $a\in A$，有 $d(x,b)\geq d(x,a)$，因此 $\inf_{b\in B}d(x,b)\geq d(x,a)$，即 $\sup_{a\in A}d(x,a)\leq \inf_{b\in B}d(x,b)$。

下面我们需要证明 $\inf_{b\in B}d(x,b)\leq \sup_{a\in A}d(x,a)$。对于任意 $\epsilon>0$，由于下确界的定义，存在 $b\in B$，使得 $d(x,b)\leq \inf_{b\in B}d(x,b)+\epsilon$。同时，由于 $B=X\setminus A$，因此对于任意 $a\in A$，有 $d(x,b)\geq d(x,a)$，因此 $\inf_{b\in B}d(x,b)\geq d(x,a)-\epsilon$。因此，对于任意 $a\in A$ 和 $\epsilon>0$，都存在 $b\in B$，使得 $d(x,b)\leq \inf_{b\in B}d(x,b)+\epsilon$ 且 $d(x,b)\geq d(x,a)-\epsilon$。所以 $\sup_{a\in A}d(x,a)\leq \inf_{b\in B}d(x,b)+\epsilon$。由于 $\epsilon$ 的任意性，我们可以得到 $\sup_{a\in A}d(x,a)\leq \inf_{b\in B}d(x,b)$。

综上，我们得到 $\inf_{b\in B}d(x,b)=\sup_{a\in A}d(x,a)$。因此，对于 $B$ 中任意元素 $b$，我们有：

$$\sup_{a\in A}d(x,a)=\inf_{b\in B}d(x,b)\leq d(x_0,b)\leq \sup_{a\in A}d(x,a)+\epsilon$$

由于度量空间 $X$ 中的距离函数 $d(x,y)$ 是连续函数，因此对于任意 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $d(x,x_0)<\delta$ 时，有 $d(x,b)-d(x_0,b)<\epsilon$。因此，当 $d(x,x_0)<\delta$ 时，我们有：

$$\begin{aligned} |f(x)-f(x_0)|&\leq |f(x)-d(x,b)|+|f(x_0)-d(x_0,b)|+2\epsilon\\ &\leq d(x,x_0)+2\epsilon \end{aligned}$$

因此，当 $d(x,x_0)<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<3\epsilon$。这说明 $f$ 是一个连续函数。