证明任意可数集的子集也是可数集合

设$A$是一个可数集，即$A$与自然数集$\mathbb{N}$有一个一一映射$f$，则对于$A$的任意一个子集$B$，我们可以定义一个映射$g:B\rightarrow\mathbb{N}$，其中$g(x)=f^{-1}(x)$，即$g(x)$等于$f$将$x$映射到$\mathbb{N}$中的元素。

显然，对于任意的$x,y\in B$，如果$x\neq y$，则$g(x)\neq g(y)$，因为$f$是一一映射。因此$g$也是一个一一映射，即$B$与$\mathbb{N}$有一个一一映射，即$B$是可数集。证毕。

相关问题

1.证明如果A和B 是集合，A是不可数的，并且A含于B，则B是不可数的。 2.证明任意可数集的子集也是可数集合 3.证明：两个可数集合的并仍然是可数的（任意有限个可数集合并也是 可数的）4. 假设A是一个无限集，证明一定存在 A的真子集跟 A 同基数。4

. 证明：假设A是一个无限集，那么A可以与自己的一个真子集B建立一一对应关系。因为B是A的真子集，所以B的基数小于A的基数，但是由于A与B可以建立一一对应关系，所以它们的基数相等。因此，存在A的真子集与A同基数。

(1Rn 中任意可测集都可以分解成可数个测度有限的可测集的并

### 回答1：
这个结论可以由以下步骤得出：

Step 1：假设 $E$ 是 $[0,1]$ 中的任意可测集，令 $E_n=E\cap [\frac{1}{n},1]$，则 $E=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$。

Step 2：对于每个 $n$，使用 $\epsilon=\frac{1}{n}$，由可测性可知存在开集 $O_{n,k}$ 和闭集 $F_{n,k}$，使得 $E_n\subset O_{n,k}$ 且 $m(O_{n,k}\setminus E_n)<\frac{1}{nk}$，$F_{n,k}\subset E_n$ 且 $m(E_n\setminus F_{n,k})<\frac{1}{nk}$，其中 $m$ 表示 Lebesgue 测度。

Step 3：令 $U_n=\bigcup_{k=1}^{\infty} O_{n,k}$，$V_n=\bigcup_{k=1}^{\infty} F_{n,k}$，则有 $U_n\supset E_n$，$V_n\subset E_n$，且 $m(U_n\setminus E_n)\leq \frac{1}{n}$，$m(E_n\setminus V_n)\leq \frac{1}{n}$。

Step 4：由于 $E_n$ 是测度有限的，所以 $U_n$ 和 $V_n$ 也是测度有限的。此外，我们有 $E=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} V_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} U_n$。

因此，$E$ 可以分解成可数个测度有限的可测集的并。

### 回答2：
对于可测空间(Ω, Σ, μ)，其中Σ是σ-代数，μ是测度。首先，我们需要回顾一下可测集、测度有限集和σ-有限集的定义。

可测集：一个集合E是可测集，如果对于任意的Borel集合A，有μ*(A∩E) + μ*(A∩E') = μ*(A)，其中E'为E的补集，μ*表示外测度。

测度有限集：一个集合E是测度有限集，如果μ(E) < ∞，其中μ表示测度。

σ-有限集：一个集合E是σ-有限集，如果可以找到可测集E1, E2, ...，使得E是这些集合的并，并且每个集合的测度都是有限的，即E = E1∪E2∪...，其中μ(Ei) < ∞。

根据题目中的条件，我们希望证明对于任意的可测集Rn，都可以分解成可数个测度有限的可测集的并。假设Rn是一个可测集，我们需要找到测度有限的可测集E1,E2,...，使得Rn = E1∪E2∪...

根据σ-有限集的定义，我们可以找到可数个测度有限的可测集Ai，使得Rn = A1∪A2∪...

进一步，我们可以将每个测度有限的可测集Ai进行细分，得到测度有限的可测集Bi。然后，我们可以将所有的Bi进行并操作，得到一个新的可测集E1。显然，E1是测度有限的可测集，并且Rn包含在E1中。

通过逐步细分和并操作的方式，我们可以重复上述过程，得到可数个测度有限的可测集E1,E2,...，使得Rn = E1∪E2∪...

因此，我们证明了对于任意的可测集Rn，都可以分解成可数个测度有限的可测集的并。

### 回答3：
对于一个测度空间 (X, Σ, μ)，其中 X 是集合，Σ 是 σ-域，μ 是测度函数。

首先，我们定义测度有限集。对于可测集 A，如果存在一个测度有限集 B，使得 B 包含在 A 中，即 B ⊆ A，并且 μ(B) < +∞，则集合 B 是一个测度有限集。

我们要证明，对于任意一个可测集 A，可以将其分解成可数个测度有限的可测集的并。即存在可测集 B₁, B₂, B₃, ...，使得 A = B₁ ∪ B₂ ∪ B₃ ∪ ...，且 B₁, B₂, B₃, ... 是测度有限集。

考虑可测集 A 的所有测度有限集的并的集合，记为 S。即 S = {B ⊆ A: B 是测度有限集}。

显然，对于任意的测度有限集 B₁, B₂, B₃, ...，它们的并 B = B₁ ∪ B₂ ∪ B₃ ∪ ... 也是一个测度有限集，并且 B ⊆ A。因此，S 中的任意子集的并仍然是 S 中的元素。

而我们可以证明 S 是一个可测集。首先，对于任意的测度有限集 B，A 中的元素要么同时属于 B 和 A 的补集 A^c，要么不属于 B 和 A^c 中的任意一个。因此，A 的所有元素可以分为两类，一类属于 S，另一类属于 A^c。

根据可测集的定义，S 是可测集，且 S ⊆ A。由于 A 是可测集，那么 A 的补集 A^c 也是可测集。根据可测集的性质， A^c 中的所有元素要么属于 S，要么不属于 S。因此， A^c 也可以表示为 S 和另一可测集的并。

继续应用上述论证的过程，我们可以得到 A 的补集 A^c 表示为若干个可测集的并。因此， A = (A ∩ S) ∪ (A ∩ S^c) = (A ∩ S) ∪ ((A^c) ∩ S^c) = (A ∩ S) ∪ ((A^c) ∩ (S')^c) = (A ∩ S) ∪ ((A^c) ∩ S") ∪ ...，其中 S, S', S", ... 均是测度有限集。

因此，可测集 A 可以分解成可数个测度有限的可测集的并。