如果集合A属于R且<A,*>是群,则称A是实数乘法群。证明<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。
时间: 2023-09-23 20:06:09 浏览: 72
### 回答1:
首先,我们需要明确实数乘法群的定义。实数乘法群是指一个由实数构成的集合A,其中满足以下条件:
1. A是实数域R的子集;
2. A关于实数乘法运算“*”是封闭的;
3. 存在一个元素1∈A,使得对于任意a∈A,都有a*1=1*a=a;
4. 对于任意a,b,c∈A,有(a*b)*c=a*(b*c);
5. 存在每一个元素a∈A都有一个逆元素a’∈A,满足a*a’=a’*a=1。
现在我们来证明<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。
首先考虑<{0},*>。显然,0*a=a*0=0,因此<{0},*>是封闭的。对于任何元素a∈<{0},*>,它的逆元素a’满足0*a’=a’*0=0,因此a’=0。因此,<{0},*>满足实数乘法群的所有条件。
接下来考虑<{1},*>。由于对于任何实数a∈R,都有1*a=a*1=a,因此<{1},*>是封闭的,并且1是单位元素。另外,任何实数a的逆元素是1/a,因此<{1},*>满足实数乘法群的所有条件。
最后考虑<{1,-1},*>。显然,1*1=1和(-1)*(-1)=1,这意味着<{1,-1},*>是封闭的,并且存在两个不同的元素1和-1,满足对于任意实数a,a*1=a和a*(-1)=-a。此外,任何实数a的逆元素可以表示为a’=a/|a|,其中|a|表示a的绝对值,因此<{1,-1},*>也满足实数乘法群的所有条件。
因此,我们证明了<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。
### 回答2:
首先,我们需要证明<{0},*>是一个有限实数乘法群。
对于任意实数a,有0 * a = a * 0 = 0。即任意实数乘0结果都是0。
另外,对于任意实数a,有a * a = a。也就是说,任意实数乘以自身的结果都是它本身。
因此,<{0},*>是一个闭合性、结合性、存在单位元和逆元的群。而且由于该集合只包含一个元素0,所以是一个有限实数乘法群。
接下来,我们证明<{1},*>也是一个有限实数乘法群。
对于任意实数a,有1 * a = a * 1 = a。即任意实数乘以1的结果都是它本身。
另外,对于任意实数a,有a * a = a。也就是说,任意实数乘以自身的结果都是它本身。
因此,<{1},*>是一个闭合性、结合性、存在单位元和逆元的群。而且由于该集合只包含一个元素1,所以是一个有限实数乘法群。
最后,我们证明<{1,-1},*>也是一个有限实数乘法群。
对于任意实数a,有1 * a = a * 1 = a。即任意实数乘以1的结果都是它本身。
对于任意实数a,有(-1) * a = a * (-1) = -a。即任意实数乘以-1的结果都是它的相反数。
另外,对于任意实数a,有a * a = a。也就是说,任意实数乘以自身的结果都是它本身。
因此,<{1,-1},*>是一个闭合性、结合性、存在单位元和逆元的群。而且由于该集合只包含两个元素1和-1,所以是一个有限实数乘法群。
综上所述,<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>是所有有限实数乘法群。
### 回答3:
首先,我们需要了解一些基本概念:
1. 集合A属于R表示集合A是实数集R的一个子集。
2. 集合A是一个群,意味着在运算*下,集合A满足以下四个条件:
a) 封闭性:对于任意两个元素a和b来自于集合A,a*b也属于集合A。
b) 结合性:对于任意三个元素a、b和c来自于集合A,(a*b)*c = a*(b*c)。
c) 存在单位元素:存在一个元素e属于集合A,使得对于任意元素a属于集合A,a*e = e*a = a。
d) 存在逆元素:对于任意元素a属于集合A,存在元素b属于集合A,使得a*b = b*a = e,其中e是单位元素。
现在我们来证明给定的三个集合是有限实数乘法群:
1. 证明<{0},*>是有限实数乘法群:
a) 封闭性:对于任意两个元素0和0来自于集合{0},0*0 = 0也属于集合{0}。
b) 结合性:对于任意三个元素0、0和0来自于集合{0},(0*0)*0 = 0*0 = 0 = 0*(0*0)。
c) 存在单位元素:单位元素为0,对于任意元素0来自于集合{0},0*0 = 0 = 0*0。
d) 存在逆元素:对于任意元素0来自于集合{0},不存在元素b属于集合{0},使得0*b = b*0 = 0 = e,因为这不违反逆元素的定义。
2. 证明<{1},*>是有限实数乘法群:
a) 封闭性:对于任意两个元素1和1来自于集合{1},1*1 = 1也属于集合{1}。
b) 结合性:对于任意三个元素1、1和1来自于集合{1},(1*1)*1 = 1*1 = 1 = 1*(1*1)。
c) 存在单位元素:单位元素为1,对于任意元素1来自于集合{1},1*1 = 1 = 1*1。
d) 存在逆元素:对于任意元素1来自于集合{1},不存在元素b属于集合{1},使得1*b = b*1 = 1 = e,因为这不违反逆元素的定义。
3. 证明<{1, -1},*>是有限实数乘法群:
a) 封闭性:对于任意两个元素1和-1来自于集合{1, -1},1*(-1) = -1也属于集合{1, -1}。
b) 结合性:对于任意三个元素1、-1和1来自于集合{1, -1},(1*(-1))*1 = -1*1 = -1 = 1*(-1*1)。
c) 存在单位元素:单位元素为1,对于任意元素1来自于集合{1, -1},1*1 = 1 = 1*1。
d) 存在逆元素:对于任意元素1来自于集合{1, -1},存在元素b为-1,使得1*(-1) = (-1)*1 = -1 = e。
根据以上证明,我们可以得出结论,即<{0},*>,<{1},*>,<{1,-1},*>都是所有有限实数乘法群。
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