a是可逆矩阵,则r(ab)=r(b)

要证明在矩阵乘法中，如果矩阵A是可逆矩阵，则对于任意矩阵B，有r(AB)=r(B)。

首先，我们知道，矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关组的行数。设矩阵B的秩为r，即r(B) = r。

我们知道可逆矩阵A满足AA^-1=I，其中I为单位矩阵。假设矩阵B的列向量为x1, x2, ..., xn，那么有如下关系：

AB(x1, x2, ..., xn) = (Ax1, Ax2, ..., Axn) = (y1, y2, ..., yn)

其中，y1, y2, ..., yn为矩阵A左乘矩阵B后的列向量。

假设y1, y2, ..., yn中的某一个列向量yi可以由其余列向量表示，则存在实数c1, c2, ..., cn-1，使得：

yi = ∑ciyj, j≠i，其中∑表示求和。

那么根据矩阵乘法的定义，我们有：

Ax1 = ∑ciAxj, j≠1
Ax2 = ∑ciAxj, j≠2
...
Axi = ∑ciAxj, j≠i
...
Axn = ∑ciAxj, j≠n

由于矩阵A是可逆矩阵，所以我们可以将等式两边同时左乘A^-1，得到：

x1 = ∑ciAxj(A^-1), j≠1
x2 = ∑ciAxj(A^-1), j≠2
...
xi = ∑ciAxj(A^-1), j≠i
...
xn = ∑ciAxj(A^-1), j≠n

上述等式表明，矩阵B的列向量x1, x2, ..., xn可以由其余列向量表示，即在矩阵B中存在部分列可以被其他列线性表示。

根据秩的定义，矩阵B中存在r个列向量x1, x2, ..., xr，它们线性无关，因此，在将这r个列向量A左乘A^-1之后，仍然是线性无关的。

因此，矩阵AB的秩为r，即r(AB) = r。

综上所述，可逆矩阵A满足r(AB)=r(B)。