4. 设 A, B 为 n 阶对称阵且 B 可逆,则下列矩阵中是对称阵的是( ) (A) AB−1 − B −1A (B) AB−1 + B −1A (C) B −1AB (D) (AB)
时间: 2023-05-30 13:04:14 浏览: 189
解答:由对称阵的定义可知,对称阵的转置等于它本身。因为 A, B 都是对称阵,则有 $(AB^{-1})^T = B^{-T}A^T = AB^{-1}$,$(B^{-1}A)^T = A^TB^{-T} = B^{-1}A$,$(B^{-1}AB)^T = B^TB^{-1}A^T = AB^{-1} = (AB^{-1})^T$,$(AB)^T = B^TA^T = AB$。因此,只有选项 (A) 是对称阵。
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设A是n阶方阵,则A-E一定是对称矩阵. 正确吗
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
矩阵 $A-E$ 的转置为 $(A-E)^T = A^T - E$。
要判断矩阵 $A-E$ 是否为对称矩阵,只需判断 $(A-E)^T = A^T - E$ 是否等于 $A-E$。
即判断 $A^T - E = A - E$ 是否成立。
对此式变形,得到 $A^T = A$。
如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵,则有 $A^T = A$。
因此,当且仅当矩阵 $A$ 是对称矩阵时,矩阵 $A-E$ 才是对称矩阵。
因此,结论“设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,$A-E$ 不一定是对称矩阵”是正确的。
分别与n阶对称矩阵,n阶可逆矩阵,n阶不可逆矩阵,n阶上三角矩阵可交换的矩阵是什么类型
1. 与n阶对称矩阵可交换的矩阵是对称矩阵。因为对称矩阵与任何一个对称矩阵都可交换,而且对称矩阵的特征值都是实数,所以它与自己的转置矩阵可交换,因此它也是对称矩阵。
2. 与n阶可逆矩阵可交换的矩阵是所有矩阵。因为可逆矩阵的任何一个非零矩阵都可以与它交换,而零矩阵也与任何矩阵都可交换。
3. 与n阶不可逆矩阵可交换的矩阵是所有形如kI的矩阵。其中k是任意非零实数,I是单位矩阵。因为不可逆矩阵的任何一个非零矩阵都可以与它交换,而单位矩阵的特征值都是1,因此它与任何一个形如kI的矩阵都可交换。
4. 与n阶上三角矩阵可交换的矩阵是n阶上三角矩阵。因为上三角矩阵与任何一个上三角矩阵都可交换,而下三角矩阵与上三角矩阵相乘得到的结果一定是下三角矩阵,因此任何一个下三角矩阵都不能与上三角矩阵交换。