4. 设 A, B 为 n 阶对称阵且 B 可逆，则下列矩阵中是对称阵的是( ) (A) AB−1 − B −1A (B) AB−1 + B −1A (C) B −1AB (D) (AB)

解答：由对称阵的定义可知，对称阵的转置等于它本身。因为 A, B 都是对称阵，则有 $(AB^{-1})^T = B^{-T}A^T = AB^{-1}$，$(B^{-1}A)^T = A^TB^{-T} = B^{-1}A$，$(B^{-1}AB)^T = B^TB^{-1}A^T = AB^{-1} = (AB^{-1})^T$，$(AB)^T = B^TA^T = AB$。因此，只有选项 (A) 是对称阵。

相关问题

一个对称矩阵乘一个可逆矩阵还是对称矩阵吗？请证明。

一个对称矩阵乘以一个可逆矩阵仍然是对称矩阵。

证明：

设$A$为对称矩阵，$B$为可逆矩阵，则$AB$是对称矩阵等价于$(AB)^T=AB$。

由矩阵乘法的定义可得：$(AB)^T=B^TA^T$，因为$A$是对称矩阵，所以$A=A^T$，代入得到：$(AB)^T=B^TA^T=B^TA$。

考虑$(AB)^T$和$AB$的元素是否相等，即$(AB)^T_{ij}=AB_{ij}$是否成立。

$(AB)^T_{ij}=B^TA_{ji}$，而$AB_{ij}$可以用矩阵乘法展开为$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$。

因为$B$是可逆矩阵，所以$B^T$也是可逆矩阵，因此$(AB)^T_{ij}=B^TA_{ji}=\sum_{k=1}^n B_{jk}^{-1}A_{ki}B_{kj}$。

由对称矩阵的定义可得$A_{ki}=A_{ik}$，因此$(AB)^T_{ij}=\sum_{k=1}^n B_{kj}^{-1}A_{ik}B_{jk}$。

注意到右边的式子与$(AB)_{ij}$是完全一样的，因此$(AB)^T=AB$，即$AB$是对称矩阵。证毕。

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