一个对称矩阵乘一个可逆矩阵还是对称矩阵吗？请证明。

一个对称矩阵乘以一个可逆矩阵仍然是对称矩阵。

证明：

设$A$为对称矩阵，$B$为可逆矩阵，则$AB$是对称矩阵等价于$(AB)^T=AB$。

由矩阵乘法的定义可得：$(AB)^T=B^TA^T$，因为$A$是对称矩阵，所以$A=A^T$，代入得到：$(AB)^T=B^TA^T=B^TA$。

考虑$(AB)^T$和$AB$的元素是否相等，即$(AB)^T_{ij}=AB_{ij}$是否成立。

$(AB)^T_{ij}=B^TA_{ji}$，而$AB_{ij}$可以用矩阵乘法展开为$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$。

因为$B$是可逆矩阵，所以$B^T$也是可逆矩阵，因此$(AB)^T_{ij}=B^TA_{ji}=\sum_{k=1}^n B_{jk}^{-1}A_{ki}B_{kj}$。

由对称矩阵的定义可得$A_{ki}=A_{ik}$，因此$(AB)^T_{ij}=\sum_{k=1}^n B_{kj}^{-1}A_{ik}B_{jk}$。

注意到右边的式子与$(AB)_{ij}$是完全一样的，因此$(AB)^T=AB$，即$AB$是对称矩阵。证毕。

感谢您的提问！

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对称矩阵一定可逆吗？

不一定。

对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于它本身，即A=A^T。如果对称矩阵A可逆，那么它的逆矩阵A^-1也是对称矩阵。但是，并非所有的对称矩阵都是可逆的。

一个对称矩阵是可逆的充分必要条件是它的所有特征值都不为0。如果对称矩阵A存在一个特征值为0，那么它的行列式det(A)为0，因此A不可逆。

举个例子，下面这个对称矩阵就不可逆，因为它的特征值为0：

A = [ 1  2  3 ]
    [ 2  4  6 ]
    [ 3  6  9 ]

因此，对称矩阵不一定可逆，它的可逆性取决于其特征值是否都不为0。

matlab矩阵的实对称矩阵a，求出可逆矩阵p

在MATLAB中，可以使用函数`symeig`来求解实对称矩阵`a`的特征值和特征向量。根据实对称矩阵的性质，其特征值是实数，并且特征向量可以构成正交矩阵。

首先，我们可以使用`symeig`函数求出实对称矩阵`a`的特征值和特征向量。代码如下：

[V, D] = symeig(a);

其中，`V`是一个包含特征向量的矩阵，`D`是一个包含特征值的对角矩阵。

因为实对称矩阵的特征向量是正交的，我们可以使用`p`来表示特征向量矩阵`V`的转置。即`p = V'`。

最后，我们需要检查特征值是否为零。如果特征值中存在零值，那么矩阵`a`是不可逆的。如果特征值全都非零，则矩阵`a`可逆。

综上所述，可以使用以下代码求解实对称矩阵`a`的可逆矩阵`p`：

[V, D] = symeig(a);
if any(diag(D) == 0)
    disp('矩阵a不可逆');
else
    p = V';
    disp('矩阵a可逆');
end

需要注意的是，上述代码假设矩阵`a`是实对称矩阵，并且使用的是`symeig`函数。如果矩阵`a`不是实对称矩阵，或者使用其他求解特征值和特征向量的函数，可能需要相应的修改。