证明函数 f(x) = 1/2 x'Qx 的共轭函数为 f*(y) = 1/2 y' Q^-1 y，其中 Q∈R的n×n是对称矩阵且可逆。

根据定义，函数 f(x) 的共轭函数为：

f*(y) = sup{x}(xy - f(x))

其中 sup 表示上确界。我们需要证明，当 f(x) = 1/2 x'Qx 时，f*(y) = 1/2 y'Q^-1 y。

首先，我们可以将 f(x) 展开：

f(x) = 1/2 x'Qx = 1/2 ∑i,jQij xi xj

然后，我们可以将 f*(y) 写成以下形式：

f*(y) = sup{x}(xy - 1/2 x'Qx)

将 x'Qx 展开并整理得到：

f*(y) = sup{x}(∑i,jQij xi yj - 1/2 ∑i,jQij xi xj)

接下来，我们需要求解这个最优化问题。我们可以通过求导来找到最优解。

对 x 求导得到：

∂(xy - 1/2 x'Qx)/∂xi = yi - ∑jQij xj

令其等于0，解出 x 的最优解：

xi = ∑j(Q^-1)ij yj

将最优解代入 f*(y) 的表达式中，得到：

f*(y) = 1/2 y'Q^-1 y

证毕。

相关问题

证明函数 f ( x )=1/2x的转置Qx 的共轭函数为 f* ( y )=1/2y的转置Q 的逆y ，其中 Q∈R的n×n是 对称矩阵且可逆。

首先，我们需要确定 $f(x)$ 的转置 $f^T(x)$ 和共轭函数 $f^*(y)$。由于 $f(x)$ 是实函数，所以 $f^T(x) = f(x)$。而 $f^*(y)$ 的定义为：

$$f^*(y) = \sup_x \{y^Tx-f(x)\}$$

接下来，我们需要计算 $f^*(y)$。将 $f(x)$ 代入上式得到：

$$f^*(y) = \sup_x \{y^Tx-\frac{1}{2}x^TQx\}$$

注意到 $Q$ 是对称矩阵，因此可以进行特征值分解 $Q=VDV^T$，其中 $V$ 是正交矩阵，$D$ 是对角矩阵，对角线上的元素为 $Q$ 的特征值。令 $y=Vz$，则：

$$\begin{aligned} f^*(y) &= \sup_x \{(Vz)^Tx-\frac{1}{2}x^TQx\} \\ &= \sup_x \{z^TV^Tx-\frac{1}{2}x^TVDV^Tx\} \\ &= \sup_x \{z^Tx-\frac{1}{2}x^TDx\} \\ &= \frac{1}{2}z^TQ^{-1}z \end{aligned}$$

其中最后一步利用了二次型的标准形式。因此，$f^*(y) = \frac{1}{2}y^TQ^{-1}y$，即 $f^*(y)$ 的转置为 $\frac{1}{2}y^TQ^{-1}y$。

设随机变量X的密度函数为f(x) =1/2x ^ 2*e ^-x是模拟次随机变量X。

根据你提供的密度函数f(x) = (1/2)x^2 * e^(-x)，我们可以使用拒绝抽样方法来模拟随机变量X。

首先，我们需要找到一个上界M，使得对于所有的x，f(x) <= M。根据密度函数的形式，我们可以发现x越大，f(x)越小。因此，我们可以选择一个合适的x值来估计上界M。

让我们选择x=10作为估计的上界。接下来，我们可以生成服从均匀分布U(0, 1)的随机数u和指数分布Exp(1)的随机数y。

然后，我们可以通过以下步骤来模拟随机变量X：
1. 从均匀分布中抽取随机数u。
2. 计算y = -log(u)。
3. 从指数分布Exp(1)中抽取随机数y。
4. 如果u <= f(y) / M，则接受y作为随机变量X的一个样本；否则返回步骤1重新抽样。

下面是用R语言编写的函数实现上述模拟过程：

simulate_X <- function(n) {
  M <- 5  # 估计的上界M
  samples <- numeric(n)
  count <- 0
  
  while (count < n) {
    u <- runif(1)
    y <- rexp(1)
    
    if (u <= (1/2) * y^2 * exp(-y) / M) {
      count <- count + 1
      samples[count] <- y
    }
  }
  
  return(samples)
}

你可以调用这个函数来模拟指定数量n的随机变量X。例如，调用函数并生成1000个样本：

samples <- simulate_X(1000)
print(samples)

请注意，这个方法是基于拒绝抽样，因此可能需要进行大量的重复抽样才能得到足够数量的样本。同时，估计的上界M的选择对抽样效率和模拟质量也有一定影响。

希望对你有所帮助！如果有任何其他问题，请随时提问。