f(x,y)=x^2/y 判断凹凸性

我们可以通过计算二阶偏导数来判断$f(x,y)$的凹凸性。具体地，如果$f(x,y)$的二阶偏导数满足以下条件：

1. 当$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right)^2 > 0$时，$f(x,y)$为双曲抛物面，即为非凹非凸函数；
2. 当$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right)^2 < 0$时，$f(x,y)$为椭圆抛物面，即为严格凸函数；
3. 当$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right)^2 = 0$时，无法判断凹凸性。

我们来计算一下$f(x,y)$的二阶偏导数：

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2/y,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2x^2/y^3,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 0
$$

将其代入公式中，得到：

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right)^2 = -4/x^2y^4
$$

因为上式小于零，所以$f(x,y)$为严格凸函数。