设计一个函数，要求此函数具有至少一个极大值和极小值，并完成以下任务:(70分 设计题求出此函数的单调区间，并判断单调性，求出函数的极值点,求出函数在某点的切线方程， (3)求出此函数的凹凸区间并判断凹凸性，求出函数的拐点，(5)求出函数在某闭区间上的最值，求出函数在该闭区间上与x 轴所围成的面积c1(2)画出函数的图形，64

为了方便描述，我们假设此函数为$f(x)$。

首先，我们可以设计一个简单的函数：$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$。我们可以通过求导数来找到此函数的极值点和单调区间。

1. 单调性和极值点

求导得到$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令其等于0，解得$x=1\pm\sqrt{\frac{1}{3}}$。将这两个值代入$f(x)$，可以得到两个极值点$(1-\sqrt{\frac{1}{3}}, -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}})$和$(1+\sqrt{\frac{1}{3}}, \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}})$。

$f'(x)$在$(1-\sqrt{\frac{1}{3}}, 1+\sqrt{\frac{1}{3}})$上为正，在$(1+\sqrt{\frac{1}{3}}, \infty)$上为正，因此$f(x)$在$(1-\sqrt{\frac{1}{3}}, 1+\sqrt{\frac{1}{3}})$上单调递增，在$(1+\sqrt{\frac{1}{3}}, \infty)$上单调递减。

2. 切线方程

我们可以选择一个点$x_0$来求出该点处的切线方程。假设我们选择$x_0=1$，则该点处的斜率为$f'(1)=-1$，该点的坐标为$(1,0)$，因此该点的切线方程为$y=-x+1$。

3. 凹凸性和拐点

求二阶导数$f''(x) = 6x-6$，令其等于0，解得$x=1$。因此$f(x)$在$(\infty, 1)$上为凸，在$(1, \infty)$上为凹。拐点为$(1, -1)$。

4. 最值和面积

由于$f(x)$在闭区间$[0,2]$上具有单调性，因此最大值为$f(2)=2$，最小值为$f(0)=0$。该区间上与$x$轴所围成的面积为$\int_0^2 f(x)dx = \frac{2}{3}$。

5. 图形

下面是$f(x)$在$[-1,3]$上的图形：