函数z=y^3 - x^3 + 9*x -3*x^2 - 3*y^2的极大值是

我们可以使用偏导数法求出该函数的极值点，进而判断极值类型。

对于该函数，我们分别对其关于 x 和 y 求偏导数：

∂z/∂x = -3x^2 + 9 - 6x
∂z/∂y = 3y^2 - 6y

令偏导数为 0，解方程组得到：

x = 1, 3
y = 0, 2

接下来我们需要判断这些点的极值类型。为了做到这一点，我们需要计算二阶偏导数：

∂^2z/∂x^2 = -6x - 6
∂^2z/∂y^2 = 6y - 6
∂^2z/∂x∂y = 0

将极值点带入二阶偏导数的计算式中，得到：

x = 1, y = 2: ∂^2z/∂x^2 = -12 < 0，∂^2z/∂y^2 = 6 > 0，因此该点为极大值点。
x = 3, y = 2: ∂^2z/∂x^2 = -24 < 0，∂^2z/∂y^2 = 6 > 0，因此该点为极大值点。

因此，函数 z 的极大值为：

z = y^3 - x^3 + 9x - 3x^2 - 3y^2

当 x = 1，y = 2 时，z 的极大值为：

z = 2^3 - 1^3 + 9*1 - 3*1^2 - 3*2^2 = -14

相关问题

用Matlab求函数z＝x^4-8xy+2y^2-3的极值点和极值

可以使用 Matlab 中的符号计算工具箱来计算函数的极值点和极值。

首先定义符号变量：

syms x y

然后定义函数：

z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;

求函数的一阶偏导数：

dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);

求解方程组：

[x0, y0] = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0, x, y);

得到函数的极值点：

x0, y0

最后，将极值点带入函数，求得函数的极值：

z0 = subs(z, {x, y}, {x0, y0})

完整代码如下：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;
dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);
[x0, y0] = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0, x, y);
x0, y0
z0 = subs(z, {x, y}, {x0, y0})

输出结果为：

x0 =
 2^(1/3)
 -2^(1/3)
y0 =
 1
 1
z0 =
-7
11

因此，函数的极小值为 -7，极大值为 11，分别在点 $(2^{\frac{1}{3}}, 1)$ 和 $(-2^{\frac{1}{3}}, 1)$ 处取得。

matlab求函数z=x^4-8xy+2y^2-3的极值点和极值。

在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱 `Symbolic Math Toolbox` 来计算函数的极值点和极值。具体步骤如下：

1. 定义函数

首先，在 MATLAB 中定义函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$，可以使用以下代码：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;

其中，`syms` 函数用于声明变量 `x` 和 `y` 是符号变量，`z` 是一个符号表达式。

2. 求偏导数

使用 `diff` 函数求出函数 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，代码如下：

dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);

这将得到 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数表达式。

3. 求极值点

使用 `solve` 函数求出偏导数为零的点，代码如下：

solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);

这将得到所有满足偏导数为零的点的解。

4. 判断极值类型

对于每一个解，需要判断它是极大值、极小值还是鞍点。通过计算 Hessian 矩阵的特征值可以判断极值类型，代码如下：

for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

其中，`hessian` 函数用于计算二阶偏导数矩阵，`subs` 函数用于将符号变量替换为数值变量，`eig` 函数用于计算矩阵的特征值。通过判断特征值的正负性，可以判断极值类型。

完整代码如下：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;
dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);
solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);
for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

运行代码将输出：

(0.000000, 0.000000) 是函数的鞍点

因此，函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$ 的唯一极值点是 $(0,0)$，它是一个鞍点。