求函数z=x*x-12*x*y+8*y*y的极值;
时间: 2023-09-07 10:14:05 浏览: 40
我们可以通过求偏导数来找到函数的极值点。首先,对于这个函数,我们有:
f(x, y) = x^2 - 12xy + 8y^2
对x求偏导数,得到:
fx = 2x - 12y
对y求偏导数,得到:
fy = -12x + 16y
要找到极值点,我们需要让偏导数等于0,即:
2x - 12y = 0
-12x + 16y = 0
解方程组得到:
x = 0, y = 0 或者 x = 3, y = 1.5
接下来,我们需要判断这些点是极大值还是极小值。为了做到这一点,我们需要计算二阶偏导数:
fxx = 2
fxy = -12
fyx = -12
fyy = 16
计算出Hessian矩阵,然后判断特征值的正负性即可。在这个例子中,特征值为2和16,都是正数,因此这个函数的极值点(x=0,y=0)是一个极小值点,(x=3,y=1.5)是一个极大值点。
因此,这个函数的最小值为0,最大值为27。
相关问题
z=2*x*y-3*x^2-2*y^2的极大值
我们可以使用偏导数来求得该函数的极值。首先,对于该函数 z=2*x*y-3*x^2-2*y^2,我们分别对 x 和 y 求偏导数,得到:
∂z/∂x = 2*y - 6*x
∂z/∂y = 2*x - 4*y
然后我们令两个偏导数都等于 0,求出 x 和 y 的值:
2*y - 6*x = 0
2*x - 4*y = 0
解得:
x = 0
y = 0
接着,我们可以通过求二阶偏导数来判断这个点是极大值还是极小值,具体来说,我们可以求出二阶偏导数的值,然后判断其正负性。这里不再赘述,最终的结论是该函数在点 (0, 0) 处取得极大值,极大值为 0。
详细解答函数z=xx-12xy+8y*y的极值;
为了求函数 $z=xx-12xy+8y^2$ 的极值,我们需要先计算它的一阶偏导数和二阶偏导数:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &= 2x-12y \\
\frac{\partial z}{\partial y} &= -12x+16y \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= 2 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &= 16 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} &= -12
\end{aligned}
$$
然后,我们需要找到函数的临界点,也就是一阶偏导数同时为零的点:
$$
\begin{cases}
2x-12y=0 \\
-12x+16y=0
\end{cases}
$$
解得 $x=0$ 和 $y=0$,因此 $(0,0)$ 是函数的临界点。
接下来,我们需要判断 $(0,0)$ 是否为极值点。为此,我们需要计算二阶偏导数在该点的值:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(0,0) &= 2 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(0,0) &= 16 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}(0,0) &= -12
\end{aligned}
$$
由于 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(0,0)>0$ 且 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(0,0)\cdot\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(0,0)-\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}(0,0)\right)^2<0$,因此 $(0,0)$ 是函数的鞍点,不是极值点。
综上所述,函数 $z=xx-12xy+8y^2$ 没有极值。