求函数z=x*x-12*x*y+8*y*y的极值;

我们可以通过求偏导数来找到函数的极值点。首先，对于这个函数，我们有：

f(x, y) = x^2 - 12xy + 8y^2

对x求偏导数，得到：

fx = 2x - 12y

对y求偏导数，得到：

fy = -12x + 16y

要找到极值点，我们需要让偏导数等于0，即：

2x - 12y = 0
-12x + 16y = 0

解方程组得到：

x = 0, y = 0 或者 x = 3, y = 1.5

接下来，我们需要判断这些点是极大值还是极小值。为了做到这一点，我们需要计算二阶偏导数：

fxx = 2
fxy = -12
fyx = -12
fyy = 16

计算出Hessian矩阵，然后判断特征值的正负性即可。在这个例子中，特征值为2和16，都是正数，因此这个函数的极值点(x=0,y=0)是一个极小值点，(x=3,y=1.5)是一个极大值点。

因此，这个函数的最小值为0，最大值为27。

相关问题

求 z = x *+ y *-4xy+1的极值，并对图形进行观测。

首先，您提到的表达式 `z = x .*+ y .*-4*x*y + 1` 使用了点乘运算符（`.`）而不是标准的乘法运算符(`*`)，这可能是您想用元素-wise 运算来处理向量或矩阵。在MATLAB中，`.*` 表示对应元素相乘，`.*-` 和 `.*+` 分别表示对应元素相减和相加。

为了找到这个函数的极值，我们可以使用 `fminbnd` 或 `fzero` 函数，但首先我们需要确保这是一个连续可微的函数。这个函数看起来像是一个二次项加上常数项，可能会有局部极小值。对于单变量的情况，我们可以通过计算一阶导数为0的点来寻找可能的临界点。

下面是找到这个函数极值的一个简单步骤：

1. 定义函数 `fun(x)`，接受一个自变量 `x` 作为输入并返回 `z` 的值。
2. 计算一阶导数 `dfun(x)`，确认是否存在零点。
3. 使用 `fminbnd` 或者 `fzero` 来搜索极值点。

% 假设 x 和 y 是向量或矩阵，这里为了简化例子，我们将它们看作是一维实数
x = linspace(-10, 10); % 创建一个搜索区间

% 定义函数 z(x) 和它的导数 dz(x)
fun = @(x) x .*+ y .*-4*x.*y + 1; % 原始函数
dfun = @(x) (1 - 8*y.*x).*x .*+ y .*-4*y; % 导数

% 搜索极值点
if length(y) == 1 % 如果 y 是标量
    % fminbnd 更适合单峰函数
    [val, min_x] = fminbnd(fun, x(1), x(end));
else
    % fzero 更灵活，可以处理多峰或多变号情况
    options = optimoptions('fzero', 'Display', 'none');
    min_x = fzero(dfun, x(1), options);
end

% 检查是否找到极值点
if isnan(min_x)
    disp('无法找到极值点');
else
    val = fun(min_x);
    
    % 绘制函数图像
    plot(x, fun(x), '-o', 'LineWidth', 2);
    hold on;
    plot(min_x, val, 'ro', 'MarkerSize', 10);
    title(['极值点: (' num2str(min_x) ', ' num2str(val) ')']);
    xlabel('x');
    ylabel('z');
    legend('函数', ['极值点 (' num2str(min_x) ')'], 'Location', 'NorthWest');
    hold off;

    % 查看一阶导数图
    figure;
    plot(x, dfun(x), '-');
    title('一阶导数');
    xlabel('x');
    ylabel('df/dx');
    grid on;
end

z=2*x*y-3*x^2-2*y^2的极大值

我们可以使用偏导数来求得该函数的极值。首先，对于该函数 z=2*x*y-3*x^2-2*y^2，我们分别对 x 和 y 求偏导数，得到：

∂z/∂x = 2*y - 6*x
∂z/∂y = 2*x - 4*y

然后我们令两个偏导数都等于 0，求出 x 和 y 的值：

2*y - 6*x = 0
2*x - 4*y = 0

解得：

x = 0
y = 0

接着，我们可以通过求二阶偏导数来判断这个点是极大值还是极小值，具体来说，我们可以求出二阶偏导数的值，然后判断其正负性。这里不再赘述，最终的结论是该函数在点 (0, 0) 处取得极大值，极大值为 0。