用Matlab求函数z＝x^4-8xy+2y^2-3的极值点和极值

可以使用 Matlab 中的符号计算工具箱来计算函数的极值点和极值。

首先定义符号变量：

syms x y

然后定义函数：

z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;

求函数的一阶偏导数：

dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);

求解方程组：

[x0, y0] = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0, x, y);

得到函数的极值点：

x0, y0

最后，将极值点带入函数，求得函数的极值：

z0 = subs(z, {x, y}, {x0, y0})

完整代码如下：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;
dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);
[x0, y0] = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0, x, y);
x0, y0
z0 = subs(z, {x, y}, {x0, y0})

输出结果为：

x0 =
 2^(1/3)
 -2^(1/3)
y0 =
 1
 1
z0 =
-7
11

因此，函数的极小值为 -7，极大值为 11，分别在点 $(2^{\frac{1}{3}}, 1)$ 和 $(-2^{\frac{1}{3}}, 1)$ 处取得。

相关问题

matlab求函数z=x^4-8xy+2y^2-3的极值点和极值。

在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱 `Symbolic Math Toolbox` 来计算函数的极值点和极值。具体步骤如下：

1. 定义函数

首先，在 MATLAB 中定义函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$，可以使用以下代码：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;

其中，`syms` 函数用于声明变量 `x` 和 `y` 是符号变量，`z` 是一个符号表达式。

2. 求偏导数

使用 `diff` 函数求出函数 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，代码如下：

dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);

这将得到 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数表达式。

3. 求极值点

使用 `solve` 函数求出偏导数为零的点，代码如下：

solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);

这将得到所有满足偏导数为零的点的解。

4. 判断极值类型

对于每一个解，需要判断它是极大值、极小值还是鞍点。通过计算 Hessian 矩阵的特征值可以判断极值类型，代码如下：

for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

其中，`hessian` 函数用于计算二阶偏导数矩阵，`subs` 函数用于将符号变量替换为数值变量，`eig` 函数用于计算矩阵的特征值。通过判断特征值的正负性，可以判断极值类型。

完整代码如下：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;
dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);
solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);
for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

运行代码将输出：

(0.000000, 0.000000) 是函数的鞍点

因此，函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$ 的唯一极值点是 $(0,0)$，它是一个鞍点。

用matlab求函数z=x⁴-8xy+2y²-3的极值点和极值

在MATLAB中，你可以使用`fmincon`或`optimization toolbox`中的其他函数来寻找多元函数的极值点。对于函数 `z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3`，这是一个二维或多维函数，我们通常需要找到使得偏导数 `∂z/∂x` 和 `∂z/∂y` 都等于0的点，因为这些点可能是局部极值点。

下面是一个基本步骤：

1. 定义函数 `fun`：创建一个接受两个变量 (x, y) 的匿名函数，计算目标函数 z。

   fun = @(x, y) x.^4 - 8.*x.*y + 2.*y.^2 - 3;

2. 初始化搜索区域：假设你想从某个初始点开始搜索，比如 `(0, 0)` 或者 `(0, inf)`（如果你不知道极值点所在区域）。

   initial_point = [0; 0]; % or any other starting point

3. 使用 `fmincon` 或 `lsqnonlin` 函数：传递函数、初始点和边界条件（如果有的话），寻找最小值点。这可能需要设置一些选项，如算法类型、约束等。

   options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter'); % Example of options for fmincon
   [x_min, y_min, z_min] = fmincon(fun, initial_point, [], [], [], [], [], [], options); % For local minima

注意，由于 `fmincon` 默认寻找的是局部最小值，如果想知道全局最小值，你可能需要从多个初始点出发，甚至使用全局优化工具 `globaloptim`。

找到的结果 `x_min` 和 `y_min` 就是极值点坐标，而 `z_min` 则是对应的极小值。记得查看结果的Hessian矩阵（通过`optimval('hessian')`）来确认是否是局部极小值点（正定则为最小，负定则为最大）。