matlab求x^4-8xy+2y^2-3极值
时间: 2024-05-21 21:17:20 浏览: 19
这是一个二元函数,我们需要求出它的偏导数:
$${\partial f \over \partial x} = 4x^3 - 8y$$
$${\partial f \over \partial y} = -8x + 4y$$
然后我们令偏导数为0,解出$x$和$y$的值:
$${\partial f \over \partial x} = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2}$$
$${\partial f \over \partial y} = 0 \Rightarrow y = 2x = 2\sqrt{2}$$
接下来,我们需要证明这个点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$是一个极小值点。
我们可以使用Hessian矩阵来判断。Hessian矩阵的公式如下:
$$H = \begin{bmatrix}
{\partial^2 f \over \partial x^2} & {\partial^2 f \over \partial x \partial y} \\
{\partial^2 f \over \partial y \partial x} & {\partial^2 f \over \partial y^2}
\end{bmatrix}$$
计算出来的Hessian矩阵为:
$$H = \begin{bmatrix}
24x^2 & -8 \\
-8 & 4
\end{bmatrix}$$
将点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$代入Hessian矩阵中,得到:
$$H = \begin{bmatrix}
48 & -8 \\
-8 & 4
\end{bmatrix}$$
计算Hessian矩阵的行列式和主对角线元素的乘积,得到:
$$\det(H) \cdot H_{11} \cdot H_{22} = (48 \cdot 4 - (-8) \cdot (-8)) \cdot 48 \cdot 4 = 4608 > 0$$
因此,点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$是一个极小值点。
综上所述,函数$f(x,y)=x^4-8xy+2y^2-3$在点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$处取得极小值。
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