matlab求x^4-8xy+2y^2-3极值的标准代码

可以使用MATLAB中的syms符号计算工具箱来求解这个问题。以下是求解x^4-8xy+2y^2-3的极值的代码：

syms x y
f = x^4-8*x*y+2*y^2-3;
dfdx = diff(f,x);
dfdy = diff(f,y);
s = solve([dfdx == 0, dfdy == 0], [x, y]);
x_opt = double(s.x);
y_opt = double(s.y);
f_opt = subs(f, [x,y], [x_opt, y_opt]);
fprintf('The optimal point is (%f, %f) with a value of %f.\n', x_opt, y_opt, f_opt);

这个代码首先定义了符号变量x和y，然后定义了函数f，并通过diff函数求出了f对x和y的偏导数。接着使用solve函数求出偏导数等于0的x和y的值，即为极值点的坐标。最后再利用subs函数计算出在极值点处的函数值，并输出结果。

相关问题

matlab求x^4-8xy+2y^2-3极值

这是一个二元函数，我们需要求出它的偏导数：

$${\partial f \over \partial x} = 4x^3 - 8y$$

$${\partial f \over \partial y} = -8x + 4y$$

然后我们令偏导数为0，解出$x$和$y$的值：

$${\partial f \over \partial x} = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2}$$

$${\partial f \over \partial y} = 0 \Rightarrow y = 2x = 2\sqrt{2}$$

接下来，我们需要证明这个点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$是一个极小值点。

我们可以使用Hessian矩阵来判断。Hessian矩阵的公式如下：

$$H = \begin{bmatrix}
{\partial^2 f \over \partial x^2} & {\partial^2 f \over \partial x \partial y} \\
{\partial^2 f \over \partial y \partial x} & {\partial^2 f \over \partial y^2}
\end{bmatrix}$$

计算出来的Hessian矩阵为：

$$H = \begin{bmatrix}
24x^2 & -8 \\
-8 & 4
\end{bmatrix}$$

将点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$代入Hessian矩阵中，得到：

$$H = \begin{bmatrix}
48 & -8 \\
-8 & 4
\end{bmatrix}$$

计算Hessian矩阵的行列式和主对角线元素的乘积，得到：

$$\det(H) \cdot H_{11} \cdot H_{22} = (48 \cdot 4 - (-8) \cdot (-8)) \cdot 48 \cdot 4 = 4608 > 0$$

因此，点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$是一个极小值点。

综上所述，函数$f(x,y)=x^4-8xy+2y^2-3$在点$(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$处取得极小值。

matlab求函数z=x^4-8xy+2y^2-3的极值点和极值。

在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱 `Symbolic Math Toolbox` 来计算函数的极值点和极值。具体步骤如下：

1. 定义函数

首先，在 MATLAB 中定义函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$，可以使用以下代码：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;

其中，`syms` 函数用于声明变量 `x` 和 `y` 是符号变量，`z` 是一个符号表达式。

2. 求偏导数

使用 `diff` 函数求出函数 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，代码如下：

dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);

这将得到 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数表达式。

3. 求极值点

使用 `solve` 函数求出偏导数为零的点，代码如下：

solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);

这将得到所有满足偏导数为零的点的解。

4. 判断极值类型

对于每一个解，需要判断它是极大值、极小值还是鞍点。通过计算 Hessian 矩阵的特征值可以判断极值类型，代码如下：

for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

其中，`hessian` 函数用于计算二阶偏导数矩阵，`subs` 函数用于将符号变量替换为数值变量，`eig` 函数用于计算矩阵的特征值。通过判断特征值的正负性，可以判断极值类型。

完整代码如下：

syms x y
z = x^4 - 8*x*y + 2*y^2 - 3;
dz_dx = diff(z, x);
dz_dy = diff(z, y);
solutions = solve(dz_dx == 0, dz_dy == 0);
for i = 1:length(solutions.x)
    x0 = solutions.x(i);
    y0 = solutions.y(i);
    H = hessian(z, [x, y]);
    H_subs = subs(H, {x, y}, {x0, y0});
    eigenvalues = eig(H_subs);
    if all(eigenvalues > 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极小值，极小值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    elseif all(eigenvalues < 0)
        fprintf('(%f, %f) 是函数的局部极大值，极大值为 %f\n', x0, y0, subs(z, {x, y}, {x0, y0}));
    else
        fprintf('(%f, %f) 是函数的鞍点\n', x0, y0);
    end
end

运行代码将输出：

(0.000000, 0.000000) 是函数的鞍点

因此，函数 $z=x^4-8xy+2y^2-3$ 的唯一极值点是 $(0,0)$，它是一个鞍点。