matlab实现多元函数极值的求法（极值的第二充分条件）

多元函数极值的第二充分条件是判别式Δ<0，其中Δ是海森矩阵的行列式：

Δ = DxxDyy - (Dxy)^2

其中Dxx、Dyy和Dxy分别是函数在该点处的二阶偏导数。如果Δ<0，则该点是极值点，且是一个极大值点或极小值点，具体取决于Dxx的符号。

下面是一个用 MATLAB 实现多元函数极值的示例代码：

syms x y;
f = x^4 + y^4 - 4*x*y + 1; % 定义函数
gradf = gradient(f, [x, y]); % 计算函数的梯度
H = hessian(f, [x, y]); % 计算函数的海森矩阵
detH = det(H); % 计算海森矩阵的行列式

% 求解方程 gradf = [0; 0]
sol = solve(gradf == [0; 0], [x, y]);

% 判断极值点
for i = 1:length(sol.x)
    x0 = sol.x(i);
    y0 = sol.y(i);
    Dxx = subs(H(1,1), [x, y], [x0, y0]);
    Dyy = subs(H(2,2), [x, y], [x0, y0]);
    Dxy = subs(H(1,2), [x, y], [x0, y0]);
    delta = Dxx*Dyy - Dxy^2;
    if delta < 0
        fprintf('(%f, %f) 是极值点\n', x0, y0);
        if Dxx > 0
            fprintf('(%f, %f) 是极小值点\n', x0, y0);
        else
            fprintf('(%f, %f) 是极大值点\n', x0, y0);
        end
    else
        fprintf('(%f, %f) 不是极值点\n', x0, y0);
    end
end

这个示例代码中，我们定义了一个函数 f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1，并使用 `gradient` 函数和 `hessian` 函数分别计算了它的梯度和海森矩阵。然后，我们通过求解方程 gradf = [0; 0] 来找到该函数的所有极值点，并使用海森矩阵的行列式判断它们是极大值点还是极小值点。