MATLAB多元函数极值的求法（极值的第二充分条件）

使用 MATLAB 求解多元函数极值的步骤如下：

1. 定义符号变量

syms x y;

2. 定义函数

f = x^3 + y^3 - 3*x*y;

3. 求解一阶偏导数

df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

4. 求解二阶偏导数

d2f_dx2 = diff(df_dx, x);
d2f_dy2 = diff(df_dy, y);
d2f_dxdy = diff(df_dx, y);

5. 求解偏导数为零的解

[x_sol, y_sol] = solve(df_dx == 0, df_dy == 0, x, y);

6. 计算二阶偏导数在解处的值

d2f_dx2_val = subs(d2f_dx2, [x, y], [x_sol, y_sol]);
d2f_dy2_val = subs(d2f_dy2, [x, y], [x_sol, y_sol]);
d2f_dxdy_val = subs(d2f_dxdy, [x, y], [x_sol, y_sol]);

7. 判断解是否为极值

判断极值的第二充分条件为 Hessian 矩阵的行列式和主对角线元素的符号，即：

- 若 Hessian 矩阵的行列式大于零且主对角线元素都大于零，则解为函数的极小值；
- 若 Hessian 矩阵的行列式大于零且主对角线元素都小于零，则解为函数的极大值；
- 若 Hessian 矩阵的行列式小于零，则解为函数的鞍点。

根据上述判断条件，我们可以使用下面的代码判断解是否为极值：

H = [d2f_dx2_val, d2f_dxdy_val; d2f_dxdy_val, d2f_dy2_val];
det_H = det(H);
trace_H = trace(H);

if det_H > 0 && trace_H > 0
    fprintf('解为函数的极小值\n');
elseif det_H > 0 && trace_H < 0
    fprintf('解为函数的极大值\n');
else
    fprintf('解为函数的鞍点\n');
end

最终的输出结果将告诉你解的类型，是极小值、极大值还是鞍点。