matlab多元函数极值的求法（极值的第二充分条件）

在 MATLAB 中，可以使用多元函数的二阶偏导数来判断其是否为极值点。具体地，若多元函数 $f(x_1,\dots,x_n)$ 在点 $(a_1,\dots,a_n)$ 处取得局部极值，且此点的二阶偏导数存在，则有以下结论：

1. 当二阶偏导数的 Hessian 矩阵在该点为正定矩阵时，该点为局部极小值点。
2. 当二阶偏导数的 Hessian 矩阵在该点为负定矩阵时，该点为局部极大值点。
3. 当二阶偏导数的 Hessian 矩阵在该点不定时，该点不是极值点。

下面是 MATLAB 中多元函数极值的求法的步骤：

1. 定义多元函数。

例如，假设我们要求解如下的多元函数的极值：

$$f(x,y)=x^3-3x+y^3-3y$$

2. 计算一阶偏导数。

在 MATLAB 中，可以使用 `diff` 函数计算多元函数的一阶偏导数。例如，对于上面定义的多元函数，可以如下计算一阶偏导数：

syms x y
f = x^3 - 3*x + y^3 - 3*y;
df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

计算出的一阶偏导数为：

df_dx =
3*x^2 - 3
df_dy =
3*y^2 - 3

3. 计算二阶偏导数的 Hessian 矩阵。

在 MATLAB 中，可以使用 `hessian` 函数计算多元函数的二阶偏导数的 Hessian 矩阵。例如，对于上面定义的多元函数，可以如下计算 Hessian 矩阵：

H = hessian(f, [x, y]);

计算出的 Hessian 矩阵为：

H =
[ 6*x,     0]
[    0, 6*y]

4. 判断极值类型。

将上述计算出的一阶偏导数和 Hessian 矩阵带入到上述结论中，即可判断出多元函数的极值类型。对于上面定义的多元函数，可得到如下结论：

在点 $(1,1)$ 处，一阶偏导数为：

df_dx = 0
df_dy = 0

因此，点 $(1,1)$ 是多元函数的临界点。

在点 $(1,1)$ 处，Hessian 矩阵为：

H =
[ 6, 0]
[ 0, 6]

该 Hessian 矩阵为正定矩阵，因此，点 $(1,1)$ 是多元函数的局部极小值点。

因此，多元函数 $f(x,y)=x^3-3x+y^3-3y$ 在点 $(1,1)$ 处取得局部极小值。