matlab进行多元函数极值的求法（极值的第二充分条件）

对于一个 $n$ 元函数 $f(\boldsymbol{x})$，要求其在点 $\boldsymbol{x}^*$ 处取得极值，需要满足以下两个条件：

1. 梯度为零：$\nabla f(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$

2. Hessian矩阵为半正定或半负定：$H(\boldsymbol{x}^*)$ 的所有特征值同号，其中 $H(\boldsymbol{x}^*)$ 是 $f(\boldsymbol{x})$ 的 Hessian 矩阵在 $\boldsymbol{x}^*$ 处的取值。

其中，Hessian矩阵是一个 $n\times n$ 的矩阵，其元素为 $\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}$。

在Matlab中，可以使用 `fmincon` 函数来求解多元函数的极值，这个函数可以设定约束条件，也可以不设定。如果不需要设定约束条件，可以将其设置为默认值 `[]`。

以下是使用 `fmincon` 函数求解多元函数的极值的示例代码：

% 定义多元函数
fun = @(x) x(1)^2 + 2*x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) - 4*x(1);

% 设置初始点
x0 = [0, 0];

% 使用 fmincon 求解极值
[x, fval, exitflag, output] = fmincon(fun, x0, [], [], [], [], [], [], @nonlcon);

% 输出结果
disp(['x1 = ', num2str(x(1)), ', x2 = ', num2str(x(2)), ', fval = ', num2str(fval)]);

其中，`fun` 是要求解的多元函数，`x0` 是初始点，`[]` 表示没有约束条件，`@nonlcon` 是一个函数句柄，用来指定非线性约束条件。`x` 是求解得到的极值点，`fval` 是在极值点处的函数值，`exitflag` 是求解的状态，`output` 是一些其它的输出信息。