多元函数条件值的求法，极值的第二充分条件，MATLAB代码

多元函数的条件极值问题，可以使用拉格朗日乘子法来求解。具体步骤如下：

1. 设 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 为目标函数，$g_1(x_1,x_2,...,x_n),g_2(x_1,x_2,...,x_n),...,g_m(x_1,x_2,...,x_n)$ 为约束条件。

2. 构造拉格朗日函数 $L(x_1,x_2,...,x_n,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m)=f(x_1,x_2,...,x_n)+\sum_{i=1}^m\lambda_i g_i(x_1,x_2,...,x_n)$。

3. 求解方程组 $\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$ 和 $\frac{\partial L}{\partial \lambda_i}=0$，得到所有的极值点和极值。

4. 利用极值第二充分条件判断每个极值点是否为极小值或极大值。极值第二充分条件是：设 $x_0$ 为极值点，如果二次偏导数 $\frac{\partial^2L}{\partial x_i^2}(x_0)$ 的行列式为正，则 $x_0$ 是极小值点；如果二次偏导数的行列式为负，则 $x_0$ 是极大值点；如果行列式为零，则需要进行进一步的判断。

下面是利用 MATLAB 求解多元函数的条件极值的例子：

假设有函数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x$，满足约束条件 $g(x,y)=x+y-1=0$，求其条件极值。

解题步骤如下：

1. 构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=x^2+y^2-2x+\lambda(x+y-1)$。

2. 求解方程组 $\frac{\partial L}{\partial x}=0$，$\frac{\partial L}{\partial y}=0$，$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$，得到：

$$
\begin{cases}
2x-2+\lambda=0 \\
2y+\lambda=0 \\
x+y-1=0
\end{cases}
$$

解得 $x=1-\frac{\lambda}{2}$，$y=-\frac{\lambda}{2}$，代入约束条件中得到 $\lambda=-2$，$x=2$，$y=-1$。

3. 计算二次偏导数，得到：

$$
\frac{\partial^2L}{\partial x^2}=2,\quad \frac{\partial^2L}{\partial x\partial y}=1,\quad \frac{\partial^2L}{\partial y^2}=2
$$

行列式为 $3>0$，因此 $(2,-1)$ 是极小值点。MATLAB 代码如下：

syms x y lambda
f = x^2 + y^2 - 2*x;
g = x + y - 1;
L = f + lambda*g;
grad_L = [diff(L,x);diff(L,y);diff(L,lambda)];
[x_sol,y_sol,lambda_sol] = solve(grad_L==0,g==0,x,y,lambda);
H = hessian(L,[x,y,lambda]);
det_H = det(H([1,2],[1,2]));
if det_H > 0
    disp('The point is a local minimum.');
elseif det_H < 0
    disp('The point is a local maximum.');
else
    disp('The test is inconclusive.');
end

输出结果为：The point is a local minimum.