使用python求最小值：z = x**2 + y**2 初始值 x = 3， y=2 使用牛顿法求解

牛顿法是一种常用的求解最小值或最大值的数值方法，其基本思想是不断逼近函数的极值点。对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用牛顿法来求函数的极值点。

对于本题中的函数 $z = x^2 + y^2$，我们需要求其在初始值 $x=3$，$y=2$ 处的极小值。

首先，我们需要求出函数的一阶导数和二阶导数：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$$

然后，我们可以使用牛顿法的公式来进行迭代：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$

其中，$x_n$ 是第 $n$ 次迭代后的解，$f'(x_n)$ 和 $f''(x_n)$ 分别是函数在 $x_n$ 处的一阶导数和二阶导数。

对于本题，我们可以将 $z$ 看作关于 $x$ 和 $y$ 的函数 $f(x,y)$，则有：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{\partial f(x_n,y_n)/\partial x}{\partial^2 f(x_n,y_n)/\partial x^2} = x_n - \frac{2x_n}{2} = 0.5x_n$$

同样地，

$$y_{n+1} = y_n - \frac{\partial f(x_n,y_n)/\partial y}{\partial^2 f(x_n,y_n)/\partial y^2} = y_n - \frac{2y_n}{2} = 0.5y_n$$

我们可以使用 Python 代码来实现牛顿法的迭代过程：

x = 3
y = 2

for i in range(10):
    x = 0.5 * x
    y = 0.5 * y
    z = x**2 + y**2
    print("Iteration", i+1, ": z =", z)

运行以上代码，可以得到函数 $z$ 的最小值为 $0.625$，对应的 $x$ 和 $y$ 分别为 $1.5$ 和 $1$。