python实现牛顿法求解求解最小值(包括拟牛顿法)【最优化课程笔记】

时间: 2023-06-21 12:12:35 浏览: 50
牛顿法是一种高效的数值优化算法,可以用于求解实值函数的最小值或最大值。下面是使用Python实现牛顿法求解最小值的步骤: 1. 定义需要求解的目标函数f(x)及其一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。 2. 选择一个初始点x0作为起点。 3. 计算f'(x0)和f''(x0)。 4. 计算x1 = x0 - f'(x0)/f''(x0)。 5. 判断是否满足收敛条件,如果满足则停止迭代,否则返回第3步,计算f'(x1)和f''(x1)。 6. 重复第4步到第5步,直到满足收敛条件为止。 下面是使用Python实现牛顿法的代码: ```python import numpy as np def newton_optimize(f, df, ddf, x0, eps=1e-6, max_iter=100): """ 使用牛顿法求解函数的最小值 :param f: 目标函数 :param df: f的一阶导数 :param ddf: f的二阶导数 :param x0: 初始点 :param eps: 精度 :param max_iter: 最大迭代次数 :return: 最小值 """ x = x0 for i in range(max_iter): g = df(x) h = ddf(x) if abs(g) < eps: break x = x - g / h return x # example f = lambda x: x**2 + np.sin(x) df = lambda x: 2 * x + np.cos(x) ddf = lambda x: 2 - np.sin(x) x0 = 1.0 x = newton_optimize(f, df, ddf, x0) print("最小值为:", x) ``` 拟牛顿法是一种牛顿法的变种,它通过估计Hessian矩阵的逆来避免计算和存储Hessian矩阵,从而减少了计算量和内存开销。下面是使用Python实现拟牛顿法的代码: ```python def bfgs_optimize(f, df, x0, eps=1e-6, max_iter=100): """ 使用BFGS算法求解函数的最小值 :param f: 目标函数 :param df: f的一阶导数 :param x0: 初始点 :param eps: 精度 :param max_iter: 最大迭代次数 :return: 最小值 """ n = len(x0) H = np.eye(n) x = x0 for i in range(max_iter): g = df(x) if np.linalg.norm(g) < eps: break p = -np.dot(H, g) alpha = line_search(f, df, x, p) s = alpha * p x_next = x + s y = df(x_next) - g if np.dot(y.T, s) > 0: H = np.dot((np.eye(n) - np.dot(s, y.T) / np.dot(y.T, s)), np.dot(H, (np.eye(n) - np.dot(y, s.T) / np.dot(y.T, s)))) + np.dot(s, s.T) / np.dot(y.T, s) x = x_next return x # example f = lambda x: x[0]**2 + x[1]**2 + np.sin(x[0]) + np.sin(x[1]) df = lambda x: np.array([2 * x[0] + np.cos(x[0]), 2 * x[1] + np.cos(x[1])]) x0 = np.array([1.0, 1.0]) x = bfgs_optimize(f, df, x0) print("最小值为:", x) ``` 上面的代码使用BFGS算法求解函数的最小值,其中line_search函数是用来计算步长的函数,这里就不再赘述了。

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