python实现追赶法求解三对角矩阵

追赶法（Gauss-Seidel method），也称为改进欧几里得消元法，是一种迭代方法，用于求解线性方程组，特别是对于稀疏的三对角矩阵。在Python中，我们可以利用这个算法来求解此类系统。

首先，假设你有一个三对角矩阵A和一个列向量b，形式如下：

A = [[a11, a12, 0], [a21, a22, a23], [0, a32, a33]]
b = [b1, b2, b3]

以下是使用追赶法的步骤：

1. 初始化矩阵的每个元素x的初始估计值为零。
2. 对于每一个非边界元素，更新其值，即当前行元素等于该位置的系数乘以前一行和前两行元素的最新估计值减去右侧的值：
- x[i] = (b[i] - a[i, j < i]*x[j]) / a[i, i]
3. 重复步骤2，直到达到预设的迭代次数或者达到一定的精度标准。

这是一个基本的实现示例：

def gauss_seidel(matrix, vector, max_iter=100, tolerance=1e-6):
    n = len(matrix)
    x = [0] * n
    for _ in range(max_iter):
        for i in range(1, n):
            if matrix[i][i] != 0:
                correction = (vector[i] - sum(matrix[i][:i] * x[:i]) - sum(matrix[i][i+1:] * x[i+1:])) / matrix[i][i]
                x[i] += correction
                if abs(correction) < tolerance:
                    break
    return x

# 使用示例
A = [[4, 1, 0], [2, 5, 1], [0, 3, 6]]
b = [16, 23, 37]
solution = gauss_seidel(A, b)
print("Solution:", solution)