用python语言实现利用追赶法解决线性方程组

好的，我来简单介绍一下追赶法（Thomas算法）解决线性方程组的步骤：

假设有一个三对角矩阵：

|b1 c1 | |x1| |d1|
|a2 b2 c2 | |x2| |d2|
| a3 b3 c3 | |x3| = |d3|
| ... | |...| |...|
| an-1 bn-1| |xn-1| |dn-1|
| an bn | | xn| | dn|

可以使用追赶法求解该线性方程组。

Step 1：将三对角矩阵分解为LU矩阵

其中，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，如下所示：

L = |1 0 |
|l21 1 |
|... ... |
|ln-1,n-2 ln-1,n-1|

U = |u11 u12 ... un-1|
|0 u22 ... un-2|
|... ... ... ... |
|0 0 ... un |

Step 2：前向追赶

设y=Ux，则有：

u11x1 + u12x2 = d1
l21x1 + u22x2 + u23x3 = d2
...
ln-1,n-2xn-2 + ln-1,n-1xn-1 + unxn = dn

因此，可以得到：

x1 = d1/u11
x2 = (d2-l21x1)/u22
...
xn = (dn-ln-1,n-2xn-2-ln-1,n-1xn-1)/un

Step 3：回代

现在，我们已经求得了x中的所有元素，接下来只需要进行回代即可，即将求得的x插入到追赶法中，计算出y的值。

回代的公式如下：

y = Lx

y1 = x1
y2 = l21y1 + x2
...
yn = ln-1,n-2yn-2 + ln-1,n-1yn-1 + xn

现在，我们已经求得了y的值，也就是原始方程组的解。以上就是利用追赶法解决线性方程组的步骤。下面是使用Python代码实现追赶法的示例：

import numpy as np

def thomas(a, b, c, d):
    n = len(a)
    c1 = np.zeros(n-1)
    d1 = np.zeros(n)
    x = np.zeros(n)

    # Step 1：分解三对角矩阵为LU矩阵
    c1[0] = c[0]/b[0]
    for i in range(1, n-1):
        c1[i] = c[i]/(b[i]-a[i]*c1[i-1])
    d1[0] = d[0]/b[0]
    for i in range(1, n):
        d1[i] = (d[i]-a[i]*d1[i-1])/(b[i]-a[i]*c1[i-1])

    # Step 2：前向追赶
    x[n-1] = d1[n-1]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        x[i] = d1[i]-c1[i]*x[i+1]

    return x

其中，a、b、c、d分别表示三对角矩阵中的对角线上、下、上的元素以及等式右边的常数项。函数返回的是线性方程组的解x。