python 拟牛顿法

拟牛顿法是一种优化算法，用于求解无约束优化问题。它通过构造一个Hessian矩阵的近似矩阵来代替牛顿法中的Hessian矩阵，从而避免了计算Hessian矩阵的复杂度。

拟牛顿法的基本思想是：通过利用函数值和梯度信息来逐步逼近Hessian矩阵的逆矩阵，从而求解优化问题。其中，BFGS算法和L-BFGS算法是拟牛顿法中比较常用的算法。

在Python中，可以使用SciPy库中的optimize模块来实现拟牛顿法。具体来说，可以使用fmin_bfgs函数和fmin_l_bfgs_b函数来分别实现BFGS算法和L-BFGS算法。

相关问题

Python 拟牛顿法

### 拟牛顿法简介

拟牛顿法是一种用于解决无约束优化问题的方法，它通过迭代更新海森矩阵的近似来改进搜索方向。这类方法既保留了牛顿法快速收敛的优点，又克服了计算和存储真实海森矩阵及其逆矩阵所带来的高成本。

### Python实现拟牛顿法 (BFGS)

下面是一个简化版的`BFGS`算法实现：

import numpy as np

def num_grad(f, x, h=1e-5):
    """数值梯度"""
    grad = np.zeros_like(x)
    for i in range(len(x)):
        xi = x.copy()
        xi[i] += h
        grad[i] = (f(xi) - f(x)) / h
    return grad

def linesearch(f, x, d, alpha=0.3, beta=0.8, max_iter=20):
    """线搜索策略"""
    fx = f(x)
    for _ in range(max_iter):
        new_x = x + d * alpha
        if f(new_x) <= fx + 0.0001 * alpha * np.dot(d.T, num_grad(f, x)):
            break
        else:
            alpha *= beta
    return alpha

def BFGS(f, initial_guess):
    """
    使用BFGS算法求解最小化问题
    
    参数:
      f: 目标函数
      initial_guess: 初始猜测值
      
    返回:
      最优解向量
    """
    
    epsilon, h, maxiter = 1e-5, 1e-5, int(1e4)
    n = len(initial_guess)
    Bk = np.eye(n)  # 初始化单位阵作为Hessian矩阵的估计
    x = initial_guess.astype(float).copy()

    for iteration in range(maxiter):
        grad = num_grad(f, x, h=h)[^2]

        if np.linalg.norm(grad) < epsilon:
            return x
        
        dk = -np.dot(np.linalg.inv(Bk), grad)
        
        ak = linesearch(lambda p: f(p), x=x, d=dk)
        sk = ak * dk
        x_new = x + sk
        yk = num_grad(f, x_new, h=h) - grad
        
        rho_k = 1.0 / (yk @ sk)
        I = np.eye(n)
        Vk = I - rho_k * np.outer(sk, yk)
        Bk = Vk.T @ Bk @ Vk + rho_k * np.outer(sk, sk)

        x = x_new

    raise Exception('Maximum iterations exceeded without convergence.')

此代码实现了基本的BFGS算法框架，并包含了必要的辅助功能如数值梯度计算以及一维线性搜索。注意，在实际应用中可能还需要考虑更多细节以提高稳定性和效率。

python拟牛顿法

拟牛顿法是一种优化算法，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来求解问题的最优解。在Python中，可以使用BFGS算法来实现拟牛顿法。

BFGS算法是一种拟牛顿法的变种，它通过逐步更新一个逼近Hessian矩阵的矩阵B来求解最优解。在Python中，可以使用以下代码实现BFGS算法的拟牛顿法：
def bfgs_newton(f, x, iters):
"""
实现BFGS拟牛顿法
:param f: 原函数
:param x: 初始值
:param iters: 遍历的最大epoch
:return: 最终更新完毕的x值
"""
# 步长。设为1才能收敛，小于1不能收敛
learning_rate = 1
# 初始化B正定矩阵
B = np.eye(2)
x_len = x.shape
# 一阶导g的第二范式的最小值（阈值）
epsilon = 1e-5

for i in range(1, iters):
g = jacobian(f, x)
if np.linalg.norm(g) < epsilon:
break

p = np.linalg.solve(B, g)
# 更新x值
x_new = x - p*learning_rate
print("第", i, "次迭代后的结果为:", x_new)

g_new = jacobian(f, x_new)
y = g_new - g
k = x_new - x
y_t = y.reshape([x_len, 1])
Bk = np.dot(B, k)
k_t_B = np.dot(k, B)
kBk = np.dot(np.dot(k, B), k)
# 更新B正定矩阵。完全按照公式来计算
B = B + y_t*y/np.dot(y, k) - Bk.reshape([x_len, 1]) * k_t_B / kBk

x = x_new

return x

在上述代码中，f代表原函数，x代表初始值，iters代表最大迭代次数。函数会返回最终更新完毕的x值。

请注意，以上代码中的jacobian函数需要根据具体问题进行定义。它是目标函数f对变量x的一阶导数。你可以根据具体问题的函数表达式来计算这个一阶导数。

你可以根据自己的需求，调用bfgs_newton函数来实现拟牛顿法，并传入相应的参数来求解问题的最优解。