请你使用python写一个拟牛顿法的BFGS算法来求二次函数最小值

当然，我可以为您展示如何在Python中使用Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 算法来求解二次函数的最小值。这里是一个简单的例子：

import numpy as np

# 定义一个二次函数 f(x) = x^T * H * x + g^T * x + c
def quadratic_function(x, H, g, c):
    return np.dot(np.dot(x, H), x) + np.dot(g, x) + c

# BFGS算法的核心更新步骤
def update_Hession(H, d, y):
    beta = y.dot(d)
    rho = d.dot(d)

    # 计算Hessian矩阵的更新公式
    I = np.eye(len(x))  # 单位矩阵
    H_new = H + (1 / beta) * (np.outer(y, y) - np.outer(I, H * y) - np.outer(H * y, I))
    return H_new

# 拟牛顿BFGS算法
def bfgs_method(x0, func, grad_func, precision=1e-6, max_iter=1000):
    x = x0
    H = np.eye(len(x))  # 初始Hessian的估计为单位矩阵

    for _ in range(max_iter):
        # 计算梯度
        gradient = grad_func(x)

        # 如果梯度足够小，退出循环
        if np.linalg.norm(gradient) < precision:
            break

        # 更新搜索方向d
        y = -gradient

        # 使用BFGS更新Hessian矩阵
        H = update_Hession(H, y, gradient)

        # 找到步长α
        alpha = 1
        while True:
            x_new = x + alpha * y
            func_value_new = func(x_new)

            # 使用Armijo线性搜索找到适当的学习率
            if func_value_new <= func(x) + alpha * gradient.dot(y) - 0.5 * alpha**2 * y.T @ H @ y:
                break
            else:
                alpha /= 2

        # 更新x
        x = x_new

    return x, func(x)

# 示例：对于函数f(x) = x^T * np.array([[2, -1], [-1, 2]]) * x + [1, 2].T * x + 3
H = np.array([[2, -1], [-1, 2]])
g = np.array([1, 2])
c = 3
x0 = np.zeros(2)

solution, min_val = bfgs_method(x0, lambda x: quadratic_function(x, H, g, c),
                                lambda x: 2 * H @ x + g,
                                max_iter=100)

print(f"Solution: {solution}")
print(f"Minimum value of the function: {min_val}")