拟牛顿法python

拟牛顿法（Quasi-Newton method）是一种优化算法，用于求解无约束最优化问题。它通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近牛顿法的迭代过程，从而减少计算Hessian矩阵的开销。下面是一个使用Python实现的拟牛顿法示例：

import numpy as np

def objective_function(x):
    return x**4 - 3*x**3 + 2

def gradient(x):
    return 4*x**3 - 9*x**2

def quasi_newton_method(x0, max_iter=100, tol=1e-6):
    x = x0
    H = np.eye(len(x0))  # 初始化近似的Hessian矩阵为单位矩阵
    iter_count = 0
    
    while iter_count < max_iter:
        g = gradient(x)
        d = -np.dot(H, g)  # 计算搜索方向
        
        # 利用线搜索确定步长 alpha
        alpha = 1.0
        c = 0.5  # Armijo条件中的常数
        rho = 0.5  # 步长缩放系数
        
        while objective_function(x + alpha*d) > objective_function(x) + c*alpha*np.dot(g, d):
            alpha *= rho
        
        x_new = x + alpha*d
        
        if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:
            break
        
        # 更新近似的Hessian矩阵
        s = x_new - x
        y = gradient(x_new) - g
        H = H + np.outer(y, y) / np.dot(y, s) - np.outer(np.dot(H, s), np.dot(H, s)) / np.dot(s, np.dot(H, s))
        
        x = x_new
        iter_count += 1
    
    return x

# 示例使用
x0 = 1.0  # 初始点
x_opt = quasi_newton_method(x0)
print("Optimal solution:", x_opt)
print("Objective value at optimal solution:", objective_function(x_opt))

上述示例中，`objective_function`代表目标函数，`gradient`代表梯度函数（目标函数的一阶导数），`quasi_newton_method`代表拟牛顿法的实现。在示例使用部分，我们指定初始点`x0`，然后调用`quasi_newton_method`函数得到最优解和最优解对应的目标函数值。

请注意，这只是一个简单的示例，拟牛顿法有不同的变体和优化。具体实现可能因问题而异，可以根据实际情况进行修改和优化。