分别与n阶对称矩阵，n阶可逆矩阵，n阶不可逆矩阵，n阶上三角矩阵可交换的矩阵是什么类型

1. 与n阶对称矩阵可交换的矩阵是对称矩阵。因为对称矩阵与任何一个对称矩阵都可交换，而且对称矩阵的特征值都是实数，所以它与自己的转置矩阵可交换，因此它也是对称矩阵。

2. 与n阶可逆矩阵可交换的矩阵是所有矩阵。因为可逆矩阵的任何一个非零矩阵都可以与它交换，而零矩阵也与任何矩阵都可交换。

3. 与n阶不可逆矩阵可交换的矩阵是所有形如kI的矩阵。其中k是任意非零实数，I是单位矩阵。因为不可逆矩阵的任何一个非零矩阵都可以与它交换，而单位矩阵的特征值都是1，因此它与任何一个形如kI的矩阵都可交换。

4. 与n阶上三角矩阵可交换的矩阵是n阶上三角矩阵。因为上三角矩阵与任何一个上三角矩阵都可交换，而下三角矩阵与上三角矩阵相乘得到的结果一定是下三角矩阵，因此任何一个下三角矩阵都不能与上三角矩阵交换。

相关问题

那么这段代码最后求出来的那个矩阵是上三角还是下三角

这段代码求解出的矩阵是上三角矩阵。

在函数的递归过程中，每次都是处理一个 $n-1$ 阶实对称矩阵 $M'$，并将其三角化为一个上三角矩阵 $Q$。然后，将 $Q$ 与一个对角线为 $[\lambda, 0, \cdots, 0]$ 的 $n$ 阶矩阵组合成一个分块矩阵 $[\begin{matrix} \lambda & v^T \\ 0 & Q \end{matrix}]$，其中 $\lambda$ 是 $M'$ 的一个特征值，$v$ 是对应的特征向量。

最后，将一个可逆矩阵 $P$ 与分块矩阵相乘，得到的矩阵就是 $M$ 的三角形式。由于 $P$ 是可逆矩阵，所以 $[\begin{matrix} \lambda & v^T \\ 0 & Q \end{matrix}]$ 也是可逆矩阵，因此其逆矩阵也是上三角矩阵。

因此，这段代码求解出的矩阵是一个上三角矩阵。