设R是实数集合，证明R×R的基数=R的基数

要证明$R\times R$的基数等于$R$的基数，我们需要构造一个双射$f:R\times R\rightarrow R$。

我们可以使用康托尔-笛卡尔-伯努利定理，即任何两个无限集合的笛卡尔积的基数等于它们中基数更大的那个集合的基数。因为$R$是无限集合，所以$R\times R$的基数不小于$R$的基数。

接下来，我们可以使用康托尔对角线论证法，构造一个双射$g:R\rightarrow R\times R$。具体地，我们可以将$R$中的每个实数表示成一个二元组$(a,b)$，其中$a$表示这个实数的整数部分，$b$表示这个实数的小数部分。例如，实数$3.14159\dots$可以表示成$(3,0.14159\dots)$。

然后我们构造一个新的实数$x$，其整数部分为$0$，小数部分的第$n$位为原来第$n$个实数的第$n$位小数取反（0变成1，1变成0）。例如，如果我们有实数$3.14159\dots$和$2.71828\dots$，那么我们可以构造出一个新实数$0.01010\dots$，其小数部分的第1位为$1-0=1$，第2位为$0-1=1$，第3位为$1-8=3$，第4位为$0-4=4$，第5位为$1-1=0$，以此类推。

现在假设存在一个双射$f:R\times R\rightarrow R$，我们可以用这个双射将每个二元组$(a,b)$映射到一个实数$f(a,b)$。我们发现，对于任意的$n$，$f(a,b)$的小数部分的第$n$位与$g^{-1}(f(a,b))$的小数部分的第$n$位不同。因此，$f$不能是一个双射，与假设矛盾。

因此，不存在一个双射将$R\times R$映射到$R$，即$R\times R$的基数不大于$R$的基数。综上所述，$R\times R$的基数等于$R$的基数。