设A是实数集R的一个子集,它包含着某一个非退化的
时间: 2024-06-01 21:10:10 浏览: 13
区间I=(a,b),即a<b。证明:A中必有一个最小的元素。即存在x0∈A,使得x0≤x,对于任意的x∈A成立。
证明:由于I是非退化的区间,所以I中至少有一个点x1,使得a<x1<b。考虑集合B={x∈A | x≤x1},容易证明B非空,因为a∈B。
接下来证明B有一个最大元素x0。如果B没有最大元素,则对于任意x∈B,都存在y∈B,使得x<y。由于I是区间,所以存在一个实数z∈I,使得x<z<y。根据实数的稠密性,存在有理数r∈Q∩(x,z)和s∈Q∩(z,y),那么r∈B且r≥x,s∈B且s≤y,这与x<y矛盾。所以B有一个最大元素x0。
最后证明x0是A的最小元素。如果存在y0∈A,使得y0<x0,则必定存在一个实数z∈(y0,x0),使得z∈A。因为x0是B的最大元素,所以z不在B中,也就是z>x1,但这与z∈(y0,x0)矛盾。所以x0是A的最小元素。
相关问题
设A是实数集R的一个子集,它包含着某一个非退化的开区间,即存在a,b∈R,a<b,使得A含于(a,b)证明card=
由于A包含着某一个非退化的开区间,即存在a,b∈R,a<b,使得A含于(a,b),因此A非空。
又因为A是实数集R的子集,所以A中的元素都是实数。
考虑构造一个从(a,b)到A的双射。
定义映射f:(a,b)→A,对于任意的x∈(a,b),令f(x)为A中距离x最近的元素,即
f(x) = inf{d(x,y) | y∈A}
其中d(x,y)表示x与y的距离,即|y-x|。
注意到由于A包含着某一个非退化的开区间(a,b),因此存在某个正数ε,使得(a-ε,a+ε)和(b-ε,b+ε)都含于(a,b)中。于是对于任意的x∈(a-ε,a+ε),都有f(x)=a;对于任意的x∈(b-ε,b+ε),都有f(x)=b。因此,f是一个满射。
又因为对于任意的x∈(a,b),f(x)都是A中的元素,因此f是一个单射。
综上所述,f是一个从(a,b)到A的双射。因此,(a,b)与A的基数相等,即card((a,b))=card(A)。由于(a,b)与R的基数相等,因此card(R)=card(A)。
证毕。
一个非频繁项集的子集是否一定是非频繁的?
一个非频繁项集的子集不一定是非频繁的。如果一个项集的支持度不足以满足设定的最小支持度要求,那么它就不是频繁项集,但是它的子集可能满足最小支持度要求,因此是频繁项集。因此,一个非频繁项集的子集不一定是非频繁的。但是,如果一个项集不是频繁项集,那么它的超集一定不是频繁项集。这是因为如果一个项集不满足最小支持度要求,那么它的超集也一定不满足最小支持度要求。
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