证明函数 f ( x )=1/2x的转置Qx 的共轭函数为 f* ( y )=1/2y的转置Q 的逆y ，其中 Q∈R的n×n是 对称矩阵且可逆。

首先，我们需要确定 $f(x)$ 的转置 $f^T(x)$ 和共轭函数 $f^*(y)$。由于 $f(x)$ 是实函数，所以 $f^T(x) = f(x)$。而 $f^*(y)$ 的定义为：

$$f^*(y) = \sup_x \{y^Tx-f(x)\}$$

接下来，我们需要计算 $f^*(y)$。将 $f(x)$ 代入上式得到：

$$f^*(y) = \sup_x \{y^Tx-\frac{1}{2}x^TQx\}$$

注意到 $Q$ 是对称矩阵，因此可以进行特征值分解 $Q=VDV^T$，其中 $V$ 是正交矩阵，$D$ 是对角矩阵，对角线上的元素为 $Q$ 的特征值。令 $y=Vz$，则：

$$\begin{aligned} f^*(y) &= \sup_x \{(Vz)^Tx-\frac{1}{2}x^TQx\} \\ &= \sup_x \{z^TV^Tx-\frac{1}{2}x^TVDV^Tx\} \\ &= \sup_x \{z^Tx-\frac{1}{2}x^TDx\} \\ &= \frac{1}{2}z^TQ^{-1}z \end{aligned}$$

其中最后一步利用了二次型的标准形式。因此，$f^*(y) = \frac{1}{2}y^TQ^{-1}y$，即 $f^*(y)$ 的转置为 $\frac{1}{2}y^TQ^{-1}y$。

相关问题

证明如下优化问题是否为凸优化问题。 min :1/2x的转置Qx + c的转置x s.t. Ax = b ，x≥0 其中 x∈R 的n, c∈R 的n， A ∈R的nxn, b∈R的n，并且 Q 是 nxn 维正定矩阵 提示：正定矩阵也为对称矩阵。

首先，我们可以将优化问题的限制条件写成一个等式约束和一个不等式约束：

Ax = b

x ≥ 0

然后，我们可以写出该问题的拉格朗日函数：

L(x, λ) = 1/2x的转置Qx + c的转置x + λ的转置(Ax - b) - μ的转置x

其中，λ和μ是拉格朗日乘子。接下来，我们需要确定该问题是否满足凸性质。

一阶条件：对偶条件

我们可以通过求解拉格朗日函数的对偶问题来验证一阶条件是否成立。对于该问题，其对偶问题为：

max: -1/2λ的转置 A的逆 Q A的逆 的λ + b的转置 A的逆 的λ

s.t. λ≥0

根据强对偶定理，若原问题是凸优化问题，则其对偶问题也是凸优化问题。因此，我们需要验证其对偶问题是否为凸优化问题。

注意到，Q是正定矩阵，因此A的逆 Q A的逆 是一个半正定矩阵，即对于任意非零向量z，都有z的转置 A的逆 Q A的逆 的z ≥ 0。因此，-1/2λ的转置 A的逆 Q A的逆 的λ 是一个凸函数。

又因为 b的转置 A的逆 的λ 是一个仿射函数，因此对偶问题是一个凸优化问题。

由此，我们可以得出结论：原问题是凸优化问题。

二阶条件：Hessian矩阵的正定性

接下来，我们需要验证该问题的Hessian矩阵是否为正定矩阵。优化问题的Hessian矩阵为：

H = Q - A的转置 λ - μ的转置

其中，λ和μ是拉格朗日乘子。注意到，Q是正定矩阵，因此只需要证明矩阵H的正定性即可。

对于任意非零向量z，我们有：

z的转置 H z = z的转置 Q z - z的转置 A的转置 λ z - z的转置 μ z

注意到，由于 A 的每一行都与λ z的内积为0，因此有 A的转置 λ z = A的转置 (λ z) = 0。因此，上式可以简化为：

z的转置 H z = z的转置 Q z - z的转置 μ z

由于 Q 是正定矩阵，因此 z的转置 Q z ≥ 0。因为 μ 的取值范围为任意实数，因此我们可以通过选择合适的μ，使得 z的转置 H z > 0。因此，矩阵H是正定矩阵。

综上所述，原问题是凸优化问题。

void CTraverseNetCalcu::EvaluateAccuracy() { CMatrix aa; aa = ~V * P * V; sigma0 = sqrt(aa(0, 0) / (iAngleObs + iDistObs - 2 * iUnknown - AngleObsStation));//单位为" Qxx = Nbb.Inv();//未知数平差值的协因数阵 //计算点位中误差 for (int i = 0; i < iUnknown; i++) { pUnknown[i].dmx = sigma0 * sqrt(Qxx(2 * i, 2 * i)); pUnknown[i].dmy = sigma0 * sqrt(Qxx(2 * i + 1, 2 * i + 1)); pUnknown[i].dmk = sqrt(pUnknown[i].dmx * pUnknown[i].dmx + pUnknown[i].dmy * pUnknown[i].dmy); double Qx, Qy, Qxy, K;// Qx = Qxx(2 * i, 2 * i); Qy = Qxx(2 * i + 1, 2 * i + 1); Qxy = Qxx(2 * i, 2 * i + 1); K = sqrt((Qx - Qy) * (Qx - Qy) + 4 * Qxy * Qxy);

这段代码是用于评估平差结果的精度和计算点位中误差的函数`EvaluateAccuracy()`。

首先，定义一个临时矩阵`aa`。然后，计算残差的协方差矩阵，即`aa = ~V * P * V`。其中，~V表示残差矩阵的转置，P为权阵。

接下来，计算单位权中误差`sigma0`。公式为`sigma0 = sqrt(aa(0, 0) / (iAngleObs + iDistObs - 2 * iUnknown - AngleObsStation))`。其中，`aa(0, 0)`表示协方差矩阵的第一个元素，`iAngleObs`表示角度观测值的数量，`iDistObs`表示距离观测值的数量，`iUnknown`表示未知数的数量，`AngleObsStation`表示角度观测站点的数量。

然后，计算未知数平差值的协因数阵`Qxx`。通过求法方程的逆矩阵得到。

接下来，通过for循环遍历每个未知数点，计算点位中误差。对于每个未知数点，计算其x、y坐标的标准差`dmx`和`dmy`。公式为`dmx = sigma0 * sqrt(Qxx(2 * i, 2 * i))`和`dmy = sigma0 * sqrt(Qxx(2 * i + 1, 2 * i + 1))`。然后，计算点位中误差`dmk`，即`dmk = sqrt(dmx * dmx + dmy * dmy)`。

最后，计算相关系数`Qx`、`Qy`、`Qxy`和`K`。其中，`Qx = Qxx(2 * i, 2 * i)`表示x坐标的协方差，`Qy = Qxx(2 * i + 1, 2 * i + 1)`表示y坐标的协方差，`Qxy = Qxx(2 * i, 2 * i + 1)`表示x和y坐标的协方差，`K = sqrt((Qx - Qy) * (Qx - Qy) + 4 * Qxy * Qxy)`表示相关系数的计算。

需要注意的是，该代码段用于计算平差结果的精度和点位中误差，具体的变量和计算公式可能需要根据代码的其他部分进行理解和使用。