请用三重积分的方式计算一个纸杯的体积

假设我们的纸杯形状为旋转曲面，可以通过以下方式计算其体积：

首先，我们需要确定纸杯的形状。假设纸杯的底面是一个半径为 $r$ 的圆形，高度为 $h$，则我们可以通过绕 $z$ 轴旋转圆形得到纸杯的形状。

接下来，我们可以通过三重积分来计算纸杯的体积。设我们在 $z$ 轴上选择一段高度为 $dz$ 的微小区间，这个微小区间的高度为 $z$ 到 $z+dz$。在这个微小区间内，纸杯的截面形状为一个半径为 $r_z$ 的圆形，其中 $r_z$ 是距离 $z$ 轴的距离，可以通过勾股定理计算得到：

$$r_z = \sqrt{r^2 - z^2}$$

因此，我们可以将纸杯的体积表示为以下三重积分：

$$V = \iiint_V dV = \int_{-h/2}^{h/2} \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{r^2 - z^2}} r dr d\theta dz$$

对 $r$ 进行积分，我们可以得到：

$$V = \int_{-h/2}^{h/2} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} r^2 d\theta dz = \int_{-h/2}^{h/2} \pi (r^2 - z^2)dz = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

因此，纸杯的体积为 $\frac{1}{3} \pi r^2 h$。