第1关：最长上升子序列

您好，关于最长上升子序列的问题，我可以为您提供以下解答：

最长上升子序列是指在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素是严格递增的。通俗地讲，就是在一组数中，找到一个严格递增的最长子序列。这个问题可以用动态规划来解决，时间复杂度为 O(n^2)。如果使用二分查找法实现，时间复杂度可以降到 O(nlogn)。

相关问题

1759:最长上升子序列

问题:
给定一个整数序列，找到其中最长的上升子序列的长度。上升子序列是指对于任意的 i < j，序列中的第 i 个数字严格小于第 j 个数字。

回答:
要找到最长的上升子序列的长度，可以使用动态规划的方法。定义一个长度为 n 的数组 dp，dp[i] 表示以第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度。初始化 dp 数组的每个元素为 1。然后从左到右遍历数组，对于每个位置 i，再从 0 到 i-1 的范围内寻找比 nums[i] 小的数字 nums[j]，更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。最后返回 dp 数组中的最大值即可。

以下是使用 Python 实现的代码示例：

def lengthOfLIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

动态规划：最长上升子序列

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）问题是指给定一个序列，找到其中最长的严格递增子序列。

例如，对于序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，最长上升子序列为 [2, 5, 7, 101]，长度为 4。

动态规划算法是解决 LIS 问题的常用方法。设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长上升子序列的长度。则有状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]

即对于每个元素 i，遍历其之前的所有元素 j，如果 nums[j] < nums[i]，则说明可以将 i 加入以 j 结尾的 LIS 中，从而得到以 i 结尾的 LIS。取所有可能的 LIS 长度的最大值即为所求。

最终答案为所有 dp[i] 中的最大值。时间复杂度为 O(n^2)。