JORDAN标准型是如何计算的

JORDAN标准型是将一个矩阵转化为Jordan块矩阵的一种标准形式。它的计算过程如下：

1. 首先，将矩阵的特征多项式计算出来。

2. 接着，根据特征多项式计算出矩阵的特征值。

3. 对于每个特征值，计算出其对应的特征向量，并将其放在一个矩阵中。

4. 将特征向量矩阵按列组合起来，得到一个矩阵P。

5. 计算出矩阵P的逆矩阵P^-1。

6. 将原矩阵乘以矩阵P，再乘以矩阵P^-1，得到Jordan标准型矩阵。

Jordan标准型矩阵是一个由若干个Jordan块矩阵组成的矩阵。每个Jordan块矩阵代表一个特征值和它对应的特征向量空间的维度。

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求jordan标准型matlab代码

以下是求Jordan标准型的MATLAB代码：

function [J, V] = jordan(A)
[V, D] = eig(A);
J = zeros(size(A));
tol = 1e-10;
for i = 1:size(A,1)
if abs(D(i,i) - round(D(i,i))) < tol
J(i,i) = round(D(i,i));
else
J(i,i) = D(i,i);
end
for j = i+1:size(A,1)
if abs(D(j,j) - J(i,i)) < tol
J(i,j) = 1;
elseif abs(D(j,j) - conj(J(i,i))) < tol
J(i,j) = 1i;
end
end
end
end

其中，A是要求Jordan标准型的方阵，J是Jordan标准型，V是相应的特征向量矩阵。tol参数为一个非常小的误差容限，用于处理复数相等的情况。

jordan标准型求法例题

下面是一道 Jordan 标准型的求解例题：

考虑线性时不变系统 $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$，其中 $A$ 为 $n \times n$ 的矩阵，$B$ 为 $n \times m$ 的矩阵。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，对应的特征向量为 $v_1, v_2, \dots, v_n$。

首先，我们要将 $A$ 转换为 Jordan 标准型。设 $J$ 为 $A$ 的 Jordan 标准形，$T$ 为相应的变换矩阵，则有 $A = T J T^{-1}$。$J$ 的形式为：

$$
J = \begin{bmatrix}
J_1 & & \\
& \ddots & \\
& & J_k
\end{bmatrix}
$$

其中 $J_i$ 的形式为：

$$
J_i = \begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \lambda_i
\end{bmatrix}
$$

接下来，我们要将系统转换为 Jordan 标准型下的形式。设 $y(t) = T^{-1} x(t)$，则有 $\dot{y}(t) = T^{-1} \dot{x}(t)$，代入原方程得：

$$
T^{-1} \dot{x}(t) = AT^{-1} x(t) + Bu(t)
$$

左乘 $T$，得到：

$$
\dot{y}(t) = J y(t) + T^{-1} B u(t)
$$

此时，$J$ 为 Jordan 标准型。