JORDAN标准型的性质有哪些
时间: 2023-12-08 17:13:07 浏览: 61
JORDAN标准型是一种矩阵的特殊形式,具有以下性质:
1. 对于任意一个方阵都可以通过相似变换转化为JORDAN标准型。
2. JORDAN标准型矩阵是一个块对角矩阵,其中每个块都是一个JORDAN块,JORDAN块的对角线上是相同的特征值。
3. JORDAN块是一种由特征值确定的矩阵,其对角线上是特征值,其余部分上方有1的位置则是1,其余位置均为0。
4. JORDAN标准型是唯一的。
5. JORDAN标准型具有良好的可逆性和可微性,因此在理论研究和应用中有着广泛的应用。
相关问题
jordan标准型求法例题
下面是一道 Jordan 标准型的求解例题:
考虑线性时不变系统 $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$,其中 $A$ 为 $n \times n$ 的矩阵,$B$ 为 $n \times m$ 的矩阵。设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$,对应的特征向量为 $v_1, v_2, \dots, v_n$。
首先,我们要将 $A$ 转换为 Jordan 标准型。设 $J$ 为 $A$ 的 Jordan 标准形,$T$ 为相应的变换矩阵,则有 $A = T J T^{-1}$。$J$ 的形式为:
$$
J = \begin{bmatrix}
J_1 & & \\
& \ddots & \\
& & J_k
\end{bmatrix}
$$
其中 $J_i$ 的形式为:
$$
J_i = \begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \lambda_i
\end{bmatrix}
$$
接下来,我们要将系统转换为 Jordan 标准型下的形式。设 $y(t) = T^{-1} x(t)$,则有 $\dot{y}(t) = T^{-1} \dot{x}(t)$,代入原方程得:
$$
T^{-1} \dot{x}(t) = AT^{-1} x(t) + Bu(t)
$$
左乘 $T$,得到:
$$
\dot{y}(t) = J y(t) + T^{-1} B u(t)
$$
此时,$J$ 为 Jordan 标准型。
求jordan标准型matlab代码
以下是求Jordan标准型的MATLAB代码:
function [J, V] = jordan(A)
[V, D] = eig(A);
J = zeros(size(A));
tol = 1e-10;
for i = 1:size(A,1)
if abs(D(i,i) - round(D(i,i))) < tol
J(i,i) = round(D(i,i));
else
J(i,i) = D(i,i);
end
for j = i+1:size(A,1)
if abs(D(j,j) - J(i,i)) < tol
J(i,j) = 1;
elseif abs(D(j,j) - conj(J(i,i))) < tol
J(i,j) = 1i;
end
end
end
end
其中,A是要求Jordan标准型的方阵,J是Jordan标准型,V是相应的特征向量矩阵。tol参数为一个非常小的误差容限,用于处理复数相等的情况。