SupposewehaveT(n)≤c=O(1)foralln≤3,andforeveryn≥4,wehave ，T(n)<=T(n/4)+T(0.75*n)+c*n,Use Mathematical Induction to prove that T (n) = O(n log n) for all n ≥ 4.

证明用数学归纳法： 首先，需要证明T（4）≤c*4 log 4，由于T（4）≤c，所以T（4）≤c*4 log 4。 下面，我们必须证明，对于任意的n≥4，如果T（k）≤c*k log k，那么T（n）≤c*n log n。 由于T（n）≤T（n/4）T（0.75*n）c*n，所以T（n）≤T（n/4）T（0.75*n）c*n，而T（n/4）≤c*(n/4) log (n/4)，T（0.75*n）≤c*(0.75*n) log (0.75*n)，所以T（n）≤c*(n/4) log (n/4) + c*(0.75*n) log (0.75*n) + c*n，也就是T（n）≤c*n log n，从而证明了T（n）=O（n log n），对于所有的n≥4。

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SupposewehaveT(n)≤c=O(1)foralln≤3,andforeveryn≥4,wehave ，T(n)<=T(n/4)+T(0.75n*)+cn,Use Mathematical Induction to prove that T (n) = O(n log n) for all n ≥ 4.

用数学归纳法证明T(n)=O(nlogn)，可将n分为三种情况。首先，当n=4时，T(n)≤T(1)=c=O(1)，由假设可知T(n)<=T(n/4) T(0.75n*) cn，故T(4)≤T(1) T(3) T(3) c4，即T(4)≤c4，即T(4)=O(4)，证明了当n=4时T(n)=O(n)。其次，假设当n=k时T(k)=O(k)成立，即T(k)≤ck，则当n=k+1时T(k+1)≤T(k/4)T(3k/4)T(3k/4)ck+1，即T(k+1)≤ck+1，即T(k+1)=O(k+1)，证明了当n=k+1时T(n)=O(n)。最后，由数学归纳法可知，当n≥4时，T(n)=O(nlogn)。

SupposewehaveT(n)≤c=O(1)foralln≤3,andforeveryn≥4,wehave ，T(n)<=T(n/4)+T(0.75*n)+cn,Use Mathematical Induction to prove that T (n) = O(n log n) for all n ≥ 4.

用数学归纳法证明T(n) = O(n log n) 对于所有n ≥ 4，首先，假设T(n) ≤ cn，其中c是一个正常数，对于n ≥ 4。令m = n/4，则T(m) ≤ c m，因为T(n) ≤ T(m)，故T(n) ≤ c m，即T(n) ≤ c n/4。同样，令m = n/2，有T(m) ≤ c m，因此T(n) ≤ c n/4 ≤ c n/2。再令m = 0.75n，有T(m) ≤ c m，故T(n) ≤ c n/2 ≤ c 0.75n，因此T(n) ≤ c n，即T(n) = O(n)。现在，使用数学归纳法，可以得出结论T(n) = O(n log n)，对于所有n ≥ 4。